Uma barra com carga total
se encontra contida no eixo
entre as coordenadas
e
. Ela possui uma densidade linear de carga definida pela função
.
© Calcule o trabalho que se deve realizar para trazer uma partícula teste de carga
do infinito e coloca-la sobre o eixo
no ponto coordenada
(veja a Fig. anterior). Considere que
e $x=5 \mathrm{~cm} .
© Calcule o trabalho que se deve realizar para trazer uma partícula teste de carga
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma barra carregada que vai do ponto
até
no eixo
. A densidade linear de carga dessa barra é dada por
. Queremos calcular o trabalho necessário para trazer uma partícula de carga
do infinito até o ponto
cm no eixo
. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre potencial elétrico e trabalho realizado por uma força elétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o trabalho necessário para trazer a carga
até o ponto desejado é igual à energia potencial elétrica naquele ponto. A fórmula geral para o trabalho
é:
onde
é o potencial elétrico no ponto
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o potencial elétrico
devido à barra carregada no ponto
cm. O potencial elétrico devido a uma pequena carga
em uma distância
é dado por:
onde
é a constante eletrostática (
).
Passo 4
Vamos parametrizar a barra carregada. A carga infinitesimal
em uma posição
na barra é:
A distância
entre o ponto
na barra e o ponto
cm é:
Passo 5
Integrando todo o potencial devido à barra carregada, temos:
Precisamos resolver essa integral para encontrar
.
Passo 6
Vamos simplificar a integração substituindo
cm e
cm:
Para resolver essa integral, podemos separar os termos:
Passo 7
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Passo 8
Aplicando os limites de integração de
cm a
:
Primeira integral:
Segunda integral:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão de
:
Simplificando:
Passo 10
Agora, precisamos encontrar o valor de
. Sabemos que a carga total
na barra é:
Resolvendo a integral:
Então:
Passo 11
Substituindo
na expressão de
:
Convertendo unidades para SI (1 cm = 0,01 m):
Passo 12
Agora, calculamos o trabalho
:
Resposta
O trabalho necessário para trazer a partícula de carga
do infinito até o ponto
cm é aproximadamente
joules.