Uma barra com carga total Q se encontra contida no eixo X entre as coordenadas x=-L e x=0. Ela possui uma densidade linear de carga definida pela função lambda(x)=c0(1-2 x / L).
© Calcule o trabalho que se deve realizar para trazer uma partícula teste de carga q0=1 mu C do infinito e coloca-la sobre o eixo X no ponto coordenada x (veja a Fig. anterior). Considere que Q=9 mu C ; L=3 cm e $x=5 \mathrm{~cm} .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma barra carregada que vai do ponto até no eixo . A densidade linear de carga dessa barra é dada por . Queremos calcular o trabalho necessário para trazer uma partícula de carga do infinito até o ponto cm no eixo . Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre potencial elétrico e trabalho realizado por uma força elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o trabalho necessário para trazer a carga W = q0 cdot V(x) até o ponto desejado é igual à energia potencial elétrica naquele ponto. A fórmula geral para o trabalho é:
onde é o potencial elétrico no ponto .

Passo 3

Agora, precisamos calcular o potencial elétrico dV = k cdot dqr devido à barra carregada no ponto cm. O potencial elétrico devido a uma pequena carga em uma distância é dado por:
onde é a constante eletrostática ( ²²).

Passo 4

Vamos parametrizar a barra carregada. A carga infinitesimal dq = lambda(x') , dx' = c0(1 - 2x'L) dx' em uma posição r = x - x' = 5 , cm - x' na barra é:
A distância entre o ponto na barra e o ponto cm é:

Passo 5

Integrando todo o potencial devido à barra carregada, temos:
V(x) = integral-L^0 k cdot dqx - x' = k cdot c0 integral-L^0 1 - 2x'L5 , cm - x' dx'
Precisamos resolver essa integral para encontrar .

Passo 6

Vamos simplificar a integração substituindo V(5,cm) = k cdot c0 integral-3,cm^0 1 - 2x'3,cm5,cm - x' dx' cm e V(5,cm) = k cdot c0 [ integral-3^0 15 - x' dx' - 23 integral-3^0 x'5 - x' dx' ] cm:
Para resolver essa integral, podemos separar os termos:

Passo 7

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
integral 15 - x' dx' = -ln|5 - x'|
Segunda integral:
integral x'5 - x' dx' = -x' - 5 ln|5 - x'|

Passo 8

Aplicando os limites de integração de -ln|5 - 0| + ln|5 - (-3)| = -ln(5) + ln(8) = ln(85) cm a -0 - 5ln(5) - (3 - 5ln(8)) = -5ln(5) + 5ln(8) = 5ln(85) :
Primeira integral:
Segunda integral:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão de V(5,cm) = k cdot c0 [ ln(85) - 23 cdot 5 ln(85) ] = k cdot c0 [ ln(85) - 103 ln(85) ] :
V(5,cm) = k cdot c0 ( -73 ln(85) )
Simplificando:

Passo 10

Agora, precisamos encontrar o valor de Q = integral-L^0 lambda(x') dx' = c0 integral-3^0 (1 - 2x'3) dx' . Sabemos que a carga total Q = c0 [ x' - x'^23 ]-3^0 = c0 [ (0 - 0) - (-3 - 93) ] = c0 [ 0 - (-3 - 3) ] = c0 cdot 6 na barra é:
c0 = Q6 = 9 mu C6 = 1,5 mu C/cm
Resolvendo a integral:
Então:

Passo 11

Substituindo V(5,cm) = k cdot 1,5 mu C/cm cdot ( -73 ln(85) ) = -k cdot 3,5 mu C/cm cdot ln(85) na expressão de V(5,cm) = -k cdot 3,5 times 10^-6 C/0,01 m cdot ln(85) = -k cdot 3,5 times 10^-4 C/m cdot ln(85) :
Convertendo unidades para SI (1 cm = 0,01 m):

Passo 12

Agora, calculamos o trabalho W = q0 cdot V(5,cm) = 1 times 10^-6 C cdot ( -k cdot 3,5 times 10^-4 C/m cdot ln(85) ) = -k cdot 3,5 times 10^-10 J/m cdot ln(85) :

Resposta

O trabalho necessário para trazer a partícula de carga do infinito até o ponto cm é aproximadamente joules.

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