Dois carrinhos se deslocam sem atrito em um trilho de ar, podendo realizar colisões unidimensionais. Considere uma colisão unidimensional onde um carrinho de massa 100 g e velocidade 0,5 m / s colide com um segundo carrinho, de massa 120 g inicialmente em repouso.
a) Quais as velocidades de cada carrinho após a colisão, se a colisão for perfeitamente elástica?
b) Considere agora que os carrinhos são acoplados por um mecanismo, tornando-se um único objeto, configurando uma colisão perfeitamente inelástica. Qual é a velocidade desse objeto após a colisão? Qual fração da energia total foi dissipada na colisão?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois carrinhos em um trilho sem atrito. O primeiro carrinho (m1) tem massa de 100 g (0,1 kg) e está se movendo a 0,5 m/s. O segundo carrinho (m2) tem massa de 120 g (0,12 kg) e está parado. Queremos descobrir as velocidades deles após a colisão em dois cenários: colisão perfeitamente elástica e colisão perfeitamente inelástica. Para resolver isso, vamos usar as leis de conservação de momento e, no caso elástico, também de energia cinética.

Passo 2

Começando com a parte a), onde a colisão é perfeitamente elástica. Em colisões elásticas, tanto o momento quanto a energia cinética são conservados. As fórmulas para as velocidades finais (v1’ e v2’) são:
v1' = (m1 - m2)m1 + m2 times v1 + 2 times m2m1 + m2 times v2
v2' = 2 times m1m1 + m2 times v1 + (m2 - m1)m1 + m2 times v2
Como o segundo carrinho está inicialmente parado (v2 = 0), as fórmulas simplificam para:
v1' = (m1 - m2)m1 + m2 times v1
v2' = 2 times m1m1 + m2 times v1

Passo 3

Vamos calcular v1’ e v2’ usando os valores dados:
v1' = 0,1 - 0,120,1 + 0,12 times 0,5 = -0,020,22 times 0,5 approx -0,0455 , m/s
v2' = 2 times 0,10,1 + 0,12 times 0,5 = 0,20,22 times 0,5 approx 0,4545 , m/s
O sinal negativo em v1’ indica que o primeiro carrinho muda de direção após a colisão.

Passo 4

Agora, vamos para a parte b), onde a colisão é perfeitamente inelástica, ou seja, os carrinhos ficam juntos após a colisão. Nesse caso, apenas o momento é conservado. A fórmula para a velocidade final (v’) é:
v' = m1 times v1 + m2 times v2m1 + m2
Como v2 = 0,
v' = 0,1 times 0,5 + 0,12 times 00,1 + 0,12 = 0,050,22 approx 0,2273 , m/s

Passo 5

Para encontrar a fração da energia dissipada na colisão inelástica, vamos calcular a energia cinética antes e depois da colisão.
Energia cinética inicial (Ek_i):
Eki = 12 m1 v1^2 = 12 times 0,1 times (0,5)^2 = 0,0125 , J
Energia cinética final (Ek_f):
Ekf = 12 (m1 + m2) v'^2 = 12 times 0,22 times (0,2273)^2 approx 0,0057 , J
A energia dissipada é a diferença entre Ek_i e Ek_f:
Energia dissipada = 0,0125 - 0,0057 = 0,0068 , J
A fração dissipada é:
0,00680,0125 approx 0,544 , ou , 54,4%

Resposta

a) Após a colisão perfeitamente elástica, as velocidades são aproximadamente v1' = -0,0455 , m/s e v2' = 0,4545 , m/s.
b) Na colisão perfeitamente inelástica, a velocidade do objeto combinado é aproximadamente 0,2273 , m/s e cerca de 54,4% da energia total foi dissipada na colisão.

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