(1,5) Encontre matematicamente o valor do ângulo de abertura 2 theta, para o qual a força elétrica é máxima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar matematicamente o valor do ângulo de abertura que torna a força elétrica máxima. Isso está no conteúdo de Eletrostática, especificamente envolvendo a força elétrica entre cargas. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de trigonometria e derivadas para maximizar a força.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força elétrica entre duas cargas é dada pela Lei de Coulomb:
F = k cdot q1 cdot q2r^2
Onde:
  • é a força elétrica,
  • é a constante eletrostática,
  • e são as cargas,
  • é a distância entre as cargas.

Passo 3

No nosso caso, o ângulo r = 2L cdot sin(theta) afeta a distância entre as cargas. Vamos supor que as cargas estão fixas em um ponto central formando esse ângulo. Usando trigonometria, a distância pode ser relacionada ao ângulo. Se considerarmos um triângulo isósceles, temos:
Onde é a distância de cada carga ao ponto central.

Passo 4

Substituindo F = k cdot q1 cdot q2(2L cdot sin(theta))^2 = k cdot q1 cdot q24L^2 cdot sin^2(theta) na fórmula da força elétrica, temos:

Passo 5

Para encontrar o ângulo que maximiza a força , precisamos minimizar o denominador, ou seja, maximizar . Sabemos que o seno atinge seu valor máximo quando , mas como estamos trabalhando com , precisamos ajustar para nosso caso.

Passo 6

A função 2theta = 90^circ Rightarrow theta = 45^circ atinge seu valor máximo em , mas como o ângulo de abertura é , substituímos:

Resposta

O ângulo de abertura que torna a força elétrica máxima é .

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