Um carro de montanha russa de massa
escorrega sem atrito numa descida de altura
do nível mais baixo. Se a velocidade inicial do carro é
, qual a velocidade do carro ao chegar ao nível mais baixo? Se em seguida ele sobe uma subida de altura
, qual a velocidade no alto da subida?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um carro de montanha russa com massa
que desce uma rampa de altura
sem atrito, começando com uma velocidade inicial de
. Precisamos descobrir:
- Qual a velocidade do carro ao chegar ao nível mais baixo da descida.
- Se ele sobe uma rampa de altura
depois, qual será sua velocidade no topo dessa subida.
Vamos usar conceitos de energia mecânica para resolver isso, especificamente a conservação da energia. Já que não há atrito, a energia total (cinética + potencial) se mantém constante.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a descida até o nível mais baixo. No ponto mais alto (início da descida), o carro tem energia potencial devido à altura e energia cinética devido à velocidade inicial.
A energia potencial gravitacional é dada por:
onde
é a aceleração da gravidade.
A energia cinética é:
Passo 3
No nível mais baixo da descida, a altura é zero, então a energia potencial é nula. Toda a energia do carro estará na forma de energia cinética.
Pela conservação da energia, a energia total no início é igual à energia no final:
Onde
é a velocidade final no nível mais baixo.
Passo 4
Vamos simplificar a equação. Como
aparece em todos os termos, podemos dividir a equação por
:
Passo 5
Agora, resolvemos para
:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Então:
Passo 6
Substituindo os valores dados:
Passo 7
Agora, vamos para a segunda parte: o carro sobe uma rampa de altura
. Ao subir, a energia cinética será convertida em energia potencial.
Usando novamente a conservação da energia, a energia no ponto mais baixo é igual à soma da energia no topo da subida:
Onde
é a velocidade no topo da subida.
Passo 8
Simplificando a equação dividindo por
:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Resolvendo para
:
Passo 9
Substituindo os valores:
Resposta
A velocidade do carro ao chegar ao nível mais baixo é aproximadamente
, e ao subir uma rampa de
de altura, sua velocidade no topo será aproximadamente
.