Um carro de montanha russa de massa m=750 kg escorrega sem atrito numa descida de altura h=50 m do nível mais baixo. Se a velocidade inicial do carro é v=10 m / s, qual a velocidade do carro ao chegar ao nível mais baixo? Se em seguida ele sobe uma subida de altura h / 2, qual a velocidade no alto da subida?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um carro de montanha russa com massa m = 750,kg que desce uma rampa de altura h = 50,m sem atrito, começando com uma velocidade inicial de v = 10,m/s. Precisamos descobrir:
  1. Qual a velocidade do carro ao chegar ao nível mais baixo da descida.
  2. Se ele sobe uma rampa de altura h2 = 25,m depois, qual será sua velocidade no topo dessa subida.
Vamos usar conceitos de energia mecânica para resolver isso, especificamente a conservação da energia. Já que não há atrito, a energia total (cinética + potencial) se mantém constante.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a descida até o nível mais baixo. No ponto mais alto (início da descida), o carro tem energia potencial devido à altura e energia cinética devido à velocidade inicial.
A energia potencial gravitacional é dada por:
Ep = m cdot g cdot h
onde g = 9,8,m/s²² é a aceleração da gravidade.
A energia cinética é:
Ek = 12 cdot m cdot v² ²

Passo 3

No nível mais baixo da descida, a altura é zero, então a energia potencial é nula. Toda a energia do carro estará na forma de energia cinética.
Pela conservação da energia, a energia total no início é igual à energia no final:
m cdot g cdot h + 12 cdot m cdot v^2 = 12 cdot m cdot vf^2
Onde vf é a velocidade final no nível mais baixo.

Passo 4

Vamos simplificar a equação. Como m aparece em todos os termos, podemos dividir a equação por m:
g cdot h + 12 cdot v^2 = 12 cdot vf^2

Passo 5

Agora, resolvemos para vf:
12 cdot vf^2 = g cdot h + 12 cdot v^2
Multiplicando ambos os lados por 2:
vf^2 = 2 cdot g cdot h + v^2
Então:
vf = raiz2 cdot g cdot h + v^2

Passo 6

Substituindo os valores dados:
vf = raiz2 cdot 9,8,m/s² cdot 50,m + (10,m/s)^2 ²
vf = raiz980,m²/s² + 100,m²/s² ²²²²
vf = raiz1080,m²/s² ²²
vf approx 32,86,m/s

Passo 7

Agora, vamos para a segunda parte: o carro sobe uma rampa de altura h2 = 25,m. Ao subir, a energia cinética será convertida em energia potencial.
Usando novamente a conservação da energia, a energia no ponto mais baixo é igual à soma da energia no topo da subida:
12 cdot m cdot vf^2 = m cdot g cdot (h2) + 12 cdot m cdot vt^2
Onde vt é a velocidade no topo da subida.

Passo 8

Simplificando a equação dividindo por m:
12 cdot vf^2 = g cdot h2 + 12 cdot vt^2
Multiplicando ambos os lados por 2:
vf^2 = g cdot h + vt^2
Resolvendo para vt:
vt = raizvf^2 - g cdot h

Passo 9

Substituindo os valores:
vt = raiz(32,86,m/s)^2 - 9,8,m/s² cdot 50,m ²
vt = raiz1080,m²/s² - 490,m²/s² ²²²²
vt = raiz590,m²/s² ²²
vt approx 24,29,m/s

Resposta

A velocidade do carro ao chegar ao nível mais baixo é aproximadamente 32,86,m/s, e ao subir uma rampa de 25,m de altura, sua velocidade no topo será aproximadamente 24,29,m/s.

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