Dois carros, A e B, se deslocam ao longo de uma linha reta. A distância de A ao ponto inicial é dada em função do tempo por xA(t)=alpha t+beta t^2, com alpha=2,60 m / s e beta=1,2 m / s^2. A distância de B ao ponto inicial é dada em função do tempo por xB(t)=gamma t^2-de, onde gamma=2,80 m / s^2 e de. (b) Em que instante(s) os carros estão no mesmo ponto?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre movimento retilíneo dos carros A e B. A questão pede para descobrir em que instante(s) os dois carros estão no mesmo ponto. Vamos precisar usar as equações de posição de cada carro e igualá-las para encontrar o(s) instante(s) desejado(s).

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações de posição de cada carro com os valores fornecidos:
Para o carro A:
xA(t) = alpha t + beta t^2
Onde xA(t) = 2,60 t + 1,2 t^2 e xB(t) = gamma t^2 - de. Substituindo:
xB(t) = 2,80 t^2 - 0,20 t^3
Para o carro B:
Onde e . Substituindo:

Passo 3

Para encontrar quando os carros estão no mesmo ponto, igualamos as duas equações de posição:
xA(t) = xB(t)
Substituindo as expressões:
2,60 t + 1,2 t^2 = 2,80 t^2 - 0,20 t^3

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para igualar a zero:
0,20 t^3 + (1,2 t^2 - 2,80 t^2) + 2,60 t = 0
Simplificando os termos:
0,20 t^3 - 1,60 t^2 + 2,60 t = 0

Passo 5

Podemos fatorar um t (0,20 t^2 - 1,60 t + 2,60) = 0 comum da equação:
t = 0
Isso nos dá uma solução imediata:
O que significa que no instante inicial ( ), ambos os carros estão no mesmo ponto.

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação quadrática restante:
0,20 t^2 - 1,60 t + 2,60 = 0
Para facilitar, multiplicamos todos os termos por 5 para eliminar os decimais:
t^2 - 8 t + 13 = 0

Passo 7

Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde De, e . Calculando o discriminante ( ):

Passo 8

Com o discriminante positivo, temos duas soluções reais:
t = 8 pm raiz122 = 8 pm 2raiz32 = 4 pm raiz3
Aproximando t approx 4 - 1,732 = 2,268 , s , temos:
t approx 4 + 1,732 = 5,732 , s

Resposta

Os carros A e B estão no mesmo ponto nos instantes , e .

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