Dois catalisadores estão sendo testados para determinar como afetam o rendimento médio de um processo químico. Especificamente, o catalisador 1 está sendo usado atualmente, mas o catalisador 2 é aceitável. Como o catalisador 2 é mais barato, ele poderia ser adotado, desde que não alterasse o rendimento do processo. Um teste é realizado em uma fábrica piloto e os resultados são apresentados na tabela abaixo. Existe alguma diferença entre os rendimentos médios? Usar
e supor que as populações são normais e as variâncias iguais.
Dados:
Dados:
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a pergunta está pedindo. Temos dois catalisadores sendo testados para ver se eles mudam o rendimento médio de um processo químico. O catalisador 1 está sendo usado atualmente, e o catalisador 2 é uma opção mais barata. Queremos saber se a adoção do catalisador 2 vai alterar o rendimento ou não. Para isso, vamos usar a Estatística Inferencial, especificamente um teste de hipóteses para diferença de médias assumindo variâncias iguais. Precisamos dos valores médios, desvios padrão e tamanhos das amostras fornecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossas hipóteses. A hipótese nula (H₀) será que não há diferença nos rendimentos médios dos dois catalisadores:
A hipótese alternativa (H₁) será que há uma diferença nos rendimentos médios:
Como o problema quer saber se há “alguma diferença”, usamos um teste bicaudal.
Passo 3
Vamos verificar as condições para usar o teste t de Student:
- Normalidade: Foi dado que as populações são normais.
- Variâncias iguais: É assumido que as variâncias são iguais.
- Independência: As amostras são independentes.
Tudo certo, podemos prosseguir.
Passo 4
Vamos calcular o desvio padrão combinado (pooled), que é uma média ponderada dos desvios padrão das duas amostras:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor do teste t usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos achar o valor crítico t para um teste bicaudal com α = 0,05 e graus de liberdade (df) = n₁ + n₂ - 2 = 14. Olhando na tabela t, o valor crítico para df=14 e α/2=0,025 em cada cauda é aproximadamente ±2,145.
Passo 7
Comparamos o valor calculado de t com o valor crítico:
- Nossa estatística t ≈ -0,63
- Valor crítico t ≈ ±2,145
Como -0,63 está dentro do intervalo entre -2,145 e 2,145, não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Não há evidências suficientes para afirmar que existe diferença nos rendimentos médios dos catalisadores. Portanto, podemos adotar o catalisador 2 sem afetar o rendimento do processo.
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