Dois catalisadores estão sendo testados para determinar como afetam o rendimento médio de um processo químico. Especificamente, o catalisador 1 está sendo usado atualmente, mas o catalisador 2 é aceitável. Como o catalisador 2 é mais barato, ele poderia ser adotado, desde que não alterasse o rendimento do processo. Um teste é realizado em uma fábrica piloto e os resultados são apresentados na tabela abaixo. Existe alguma diferença entre os rendimentos médios? Usar alpha=0,05 e supor que as populações são normais e as variâncias iguais.
Dados: barX1=92,26 ; S1=1,39 ; n1=8 ; barX2=92,68 ; S2=1,28 ; n2=8

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a pergunta está pedindo. Temos dois catalisadores sendo testados para ver se eles mudam o rendimento médio de um processo químico. O catalisador 1 está sendo usado atualmente, e o catalisador 2 é uma opção mais barata. Queremos saber se a adoção do catalisador 2 vai alterar o rendimento ou não. Para isso, vamos usar a Estatística Inferencial, especificamente um teste de hipóteses para diferença de médias assumindo variâncias iguais. Precisamos dos valores médios, desvios padrão e tamanhos das amostras fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas hipóteses. A hipótese nula (H₀) será que não há diferença nos rendimentos médios dos dois catalisadores:
H0: mu1 = mu2
A hipótese alternativa (H₁) será que há uma diferença nos rendimentos médios:
H1: mu1 neq mu2
Como o problema quer saber se há “alguma diferença”, usamos um teste bicaudal.

Passo 3

Vamos verificar as condições para usar o teste t de Student:
  1. Normalidade: Foi dado que as populações são normais.
  2. Variâncias iguais: É assumido que as variâncias são iguais.
  3. Independência: As amostras são independentes.
    Tudo certo, podemos prosseguir.

Passo 4

Vamos calcular o desvio padrão combinado (pooled), que é uma média ponderada dos desvios padrão das duas amostras:
Sp = raiz (n1 - 1)S1^2 + (n2 - 1)S2^2n1 + n2 - 2
Substituindo os valores:
Sp = raiz (8 - 1)(1.39)^2 + (8 - 1)(1.28)^28 + 8 - 2
Sp = raiz 7 times 1.9321 + 7 times 1.638414
Sp = raiz 13.5247 + 11.468814
Sp = raiz 24.993514
Sp approx raiz1.785
Sp approx 1.336

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor do teste t usando a fórmula:
t = barX1 - barX2Sp raiz 1n1 + 1n2
Substituindo os valores:
t = 92.26 - 92.681.336 raiz 18 + 18
t = -0.421.336 raiz0.125 + 0.125
t = -0.421.336 raiz0.25
t = -0.421.336 times 0.5
t = -0.420.668
t approx -0.63

Passo 6

Vamos achar o valor crítico t para um teste bicaudal com α = 0,05 e graus de liberdade (df) = n₁ + n₂ - 2 = 14. Olhando na tabela t, o valor crítico para df=14 e α/2=0,025 em cada cauda é aproximadamente ±2,145.

Passo 7

Comparamos o valor calculado de t com o valor crítico:
  • Nossa estatística t ≈ -0,63
  • Valor crítico t ≈ ±2,145
    Como -0,63 está dentro do intervalo entre -2,145 e 2,145, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Não há evidências suficientes para afirmar que existe diferença nos rendimentos médios dos catalisadores. Portanto, podemos adotar o catalisador 2 sem afetar o rendimento do processo.

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