Dois corpos
e
, de massas
e
, respectivamente, colidem em um colisão totalmente inelástica. Se
e
e
, determine (b) a direção do movimento do sistema após a colisão.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre colisão totalmente inelástica! O enunciado nos diz que dois corpos, A e B, com massas $ m_A $ e $ m_B $ respectivamente, colidem e ficam juntos após a colisão. As velocidades iniciais de A e B são dadas por $ \vec{v}_A = (5 \hat{\imath} + 3 \hat{\jmath}) , \mathrm{m/s} $ e $ \vec{v}_B = (-1 \hat{\imath} + 4 \hat{\jmath}) , \mathrm{m/s} $. Sabemos também que $ m_A = \frac{3}{2} m_B $. Vamos usar as leis da conservação do momento linear para descobrir a direção do movimento do sistema após a colisão.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que em uma colisão totalmente inelástica, os corpos se movem juntos após a colisão. Isso significa que o momento total antes da colisão é igual ao momento total depois da colisão. A fórmula da conservação do momento linear é:
Onde $ \vec{v}’ $ é a velocidade comum após a colisão.
Passo 3
Vamos substituir $ m_A $ por $ \frac{3}{2} m_B $ na equação:
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 4
Agora, podemos cancelar $ m_B $ dos dois lados da equação:
Para encontrar $ \vec{v}’ $, vamos multiplicar ambos os lados por $ \frac{2}{5} $:
Passo 5
Vamos calcular as componentes de $ \vec{v}’ $. Substituindo $ \vec{v}_A $ e $ \vec{v}_B $:
Primeiro, multiplicamos $ \frac{3}{2} $ pelas componentes de $ \vec{v}_A $:
Então:
Passo 6
Vamos somar as componentes:
Para $ \hat{\imath} $:
Para $ \hat{\jmath} $:
Então:
Passo 7
Multiplicando $ \frac{2}{5} $ pelas componentes:
Passo 8
Agora, para encontrar a direção do movimento, precisamos calcular o ângulo que $ \vec{v}’ $ forma com o eixo $ \hat{\imath} $. Usamos a tangente desse ângulo:
Então:
Passo 9
Calculando o ângulo:
Resposta
A direção do movimento do sistema após a colisão é aproximadamente $ 52^\circ $ acima do eixo $ \hat{\imath} $.