Considere a seção transversal de um cabo coaxial com raios a, b e c. Existem correntes i antiparalelas uniformente distribuídas nos dois condutores. Calcule a intensidade do campo magnético para c.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a seção transversal de um cabo coaxial com três raios: $ a $, $ b $ e $ c $. Nessa configuração, existem duas correntes $ i $ que estão antiparalelas e distribuídas uniformemente nos dois condutores. A tarefa é calcular a intensidade do campo magnético na região onde $ c < r < b $.
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de campo magnético gerado por correntes elétricas e da Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético ao caminho fechado onde integrarmos esse campo. Também vamos usar a ideia de corrente por unidade de área já que as correntes são distribuídas uniformemente.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Em um cabo coaxial, temos um condutor interno e um externo, separados por um isolante. Como são antiparalelas, as correntes correm em direções opostas. A região $ c < r < b $ está entre esses dois condutores.

Passo 3

Para encontrar o campo magnético nessa região, vamos aplicar a Lei de Ampère, que diz:
oint B cdot dl = mu0 Ienc
Aqui, $ \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} $ é a integral do campo magnético ao longo de um caminho fechado, $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo, e $ I_{enc} $ é a corrente total encerrada pelo caminho.

Passo 4

Vamos escolher um caminho circular de raio $ r $ nessa região $ c < r < b $. Devido à simetria, o campo magnético $ \vec{B} $ terá a mesma magnitude em todos os pontos do caminho e será perpendicular ao caminho. Então, a integral fica:
r
Agora, precisamos encontrar $ I_{enc} $, a corrente encerrada por esse caminho.

Passo 5

Como as correntes são uniformemente distribuídas e antiparalelas, a corrente no condutor interno (de raio $ a $) é $ i $ e no externo (de raio $ b $) é $ -i $. Na região $ c < r < b $, apenas parte da corrente do condutor externo está dentro do caminho.
Assumindo que $ c $ seja o raio do isolante entre os condutores, a corrente encerrada será apenas a do condutor interno:
a

Resposta

Substituindo $ I_{enc} $ na equação da Lei de Ampère:
Ienc
Então, isolando $ B $:
B cdot 2pi r = mu0 i
Portanto, a intensidade do campo magnético para $ c < r < b $ é:
B

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