Dois pequenos satélites de mesma massa descrevem órbitas circulares em torno de um planeta, tal que o raio da órbita de um é quatro vezes menor que o do outro. O satélite mais distante tem um período de 28 dias. Qual é o período, em dias, do satélite mais próximo?
(A) 3,5
(B) 7,0
© 14
(D) 56
(E) 112
(A) 3,5
(B) 7,0
© 14
(D) 56
(E) 112
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois satélites com a mesma massa orbitando um planeta em trajetórias circulares. O satélite mais próximo tem um raio de órbita quatro vezes menor que o do satélite mais distante. Sabemos que o período do satélite mais distante é de 28 dias e queremos descobrir qual é o período do satélite mais próximo.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Kepler que relaciona o período orbital de um satélite com o raio de sua órbita. A lei nos diz que o quadrado do período (
) é proporcional ao cubo do raio da órbita (
):
Isso significa que:
onde
e
são os períodos dos satélites e
e
são os respectivos raios de órbita.
Passo 2
Vamos atribuir os valores que já conhecemos:
-
(o satélite mais distante tem o raio quatro vezes maior) -
dias
Queremos encontrar
.
Substituindo os valores na equação da Lei de Kepler:
Passo 3
Simplificando a expressão:
Os
se cancelam:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
:
Passo 5
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de 12,25:
Resposta
O período do satélite mais próximo é de 3,5 dias. (Alternativa A)