Dois pequenos satélites de mesma massa descrevem órbitas circulares em torno de um planeta, tal que o raio da órbita de um é quatro vezes menor que o do outro. O satélite mais distante tem um período de 28 dias. Qual é o período, em dias, do satélite mais próximo?
(A) 3,5
(B) 7,0
© 14
(D) 56
(E) 112

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois satélites com a mesma massa orbitando um planeta em trajetórias circulares. O satélite mais próximo tem um raio de órbita quatro vezes menor que o do satélite mais distante. Sabemos que o período do satélite mais distante é de 28 dias e queremos descobrir qual é o período do satélite mais próximo.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Kepler que relaciona o período orbital de um satélite com o raio de sua órbita. A lei nos diz que o quadrado do período ( T) é proporcional ao cubo do raio da órbita ( r):
T^2 propto r^3
Isso significa que:
T1^2T2^2 = r1^3r2^3
onde T1 e T2 são os períodos dos satélites e r1 e r2 são os respectivos raios de órbita.

Passo 2

Vamos atribuir os valores que já conhecemos:
  • r2 = 4r1 (o satélite mais distante tem o raio quatro vezes maior)
  • T2 = 28 dias
Queremos encontrar T1.
Substituindo os valores na equação da Lei de Kepler:
T1^228^2 = r1^3(4r1)^3

Passo 3

Simplificando a expressão:
T1^2784 = r1^364r1^3
Os r1^3 se cancelam:
T1^2784 = 164

Passo 4

Agora, vamos resolver para T1^2:
T1^2 = 784 times 164
T1^2 = 78464
T1^2 = 12,25

Passo 5

Para encontrar T1, tiramos a raiz quadrada de 12,25:
T1 = raiz12,25
T1 = 3,5 dias

Resposta

O período do satélite mais próximo é de 3,5 dias. (Alternativa A)

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