Dois planos condutores infinitos são paralelos e estão uniformemente carregados com densidades superficiais de carga total +2 sigma e -sigma.
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Utilizando a lei de Gauss, determine o campo elétrico produzido por cada plano em todo o espaço.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois planos condutores infinitos que são paralelos e têm densidades superficiais de carga de +2 sigma e -sigma. O conteúdo que vamos usar aqui é a Lei de Gauss, que ajuda a calcular campos elétricos de distribuições de carga simétricas. Precisamos entender como aplicar essa lei para cada um dos planos e determinar o campo elétrico que cada um produz em todo o espaço ao redor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela afirma que o fluxo elétrico total ( PhiE) que passa por uma superfície fechada é igual à carga total ( Qint) dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ( varepsilon0):
PhiE = oint E cdot dA = Qintvarepsilon0
Como estamos lidando com planos infinitos e uniformemente carregados, a simetria do problema nos permite simplificar bastante os cálculos.

Passo 3

Vamos calcular o campo elétrico produzido por cada plano individualmente.
Para o plano com densidade superficial +2 sigma:
  1. Escolha da superfície gaussiana: Vamos usar um “cilindro gaussiano” cuja base está em um dos lados do plano e a outra base no lado oposto, perpendicular ao plano.
  2. Fluxo elétrico: Devido à simetria, o campo elétrico é perpendicular ao plano e tem a mesma intensidade em ambos os lados. As laterais do cilindro não contribuem para o fluxo, pois o campo é paralelo a essas superfícies.
  3. Aplicando a Lei de Gauss:
PhiE = E cdot A + E cdot A = 2 E A = Qintvarepsilon0
Aqui, Qint = 2 sigma A (já que a densidade é 2 sigma e a área é A).
  1. Resolvendo para E:
2 E A = 2 sigma Avarepsilon0 implies E = sigmavarepsilon0
Para o plano com densidade superficial -sigma:
Seguindo os mesmos passos:
  1. Carga interna: Qint = -sigma A
  2. Fluxo elétrico:
2 E A = -sigma Avarepsilon0
  1. Resolvendo para E:
E = -sigma2 varepsilon0
O sinal negativo indica que o campo está direcionado para dentro do plano, já que a carga é negativa.

Resposta

O campo elétrico produzido pelo plano com densidade superficial +2 sigma é E = dfracsigmavarepsilon0 e pelo plano com densidade superficial -sigma é E = -dfracsigma2 varepsilon0 em todo o espaço.

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