Dois trens viajam em sentidos opostos, sobre trilhos, com velocidade de mesma magnitude. Um deles vem apitando. A frequência do apito percebida por um passageiro do outro trem varia entre os valores de
, quando estio se aproximando, e
, quando estâo se afastando. A velocidade do som no ar हैं de
.
Passo 1
Então, gente, vamos dar uma olhada nesse problema. Temos dois trens indo em direções opostas com a mesma velocidade. Um dos trens está apitando, e um passageiro no outro trem percebe o som com duas frequências diferentes: 525,2 Hz quando os trens estão se aproximando e 368,6 Hz quando estão se afastando. A velocidade do som no ar é de 340 m/s. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade dos trens usando o efeito Doppler.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar do que é o efeito Doppler. Basicamente, é o fenômeno que ocorre quando há uma mudança na frequência do som percebida por um observador devido ao movimento relativo entre a fonte do som e o observador. No nosso caso, temos duas situações: quando os trens estão se aproximando e quando estão se afastando.
Passo 3
Vamos usar a fórmula do efeito Doppler para cada situação. A fórmula geral é:
Onde:
- $ f’ $ é a frequência percebida.
- $ f $ é a frequência emitida pela fonte.
- $ v $ é a velocidade do som no ar.
- $ v_o $ é a velocidade do observador.
- $ v_s $ é a velocidade da fonte.
No nosso caso, o observador e a fonte têm a mesma velocidade, e como os trens têm velocidades opostas, podemos simplificar a fórmula.
Passo 4
Quando os trens estão se aproximando, a frequência percebida $ f_a $ é 525,2 Hz. Nesse caso, a fórmula fica:
Mas isso não está correto, vamos ajustar.
Na verdade, quando os trens estão se aproximando, o observador está se movendo em direção à fonte, então a fórmula correta é:
Como $ v_o = v_s = u $ (velocidade dos trens), então:
Passo 5
Quando os trens estão se afastando, a frequência percebida $ f_d $ é 368,6 Hz. A fórmula nesse caso é:
Substituindo $ v_o = v_s = u $:
Passo 6
Agora temos duas equações:
Podemos dividir a primeira equação pela segunda para eliminar $ f $:
Passo 7
Calculando a razão das frequências:
Então:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Portanto:
Passo 8
Agora, vamos resolver para $ u $:
Somando $ 1,193u $ em ambos os lados:
Subtraindo 340 de ambos os lados:
Dividindo por 2,193:
Resposta
A velocidade de cada trem é aproximadamente 29,93 metros por segundo.