Dois trens viajam em sentidos opostos, sobre trilhos, com velocidade de mesma magnitude. Um deles vem apitando. A frequência do apito percebida por um passageiro do outro trem varia entre os valores de 525,2 Hz, quando estio se aproximando, e 368,6 Hz, quando estâo se afastando. A velocidade do som no ar हैं de 340 m / s.
square

Passo 1

Então, gente, vamos dar uma olhada nesse problema. Temos dois trens indo em direções opostas com a mesma velocidade. Um dos trens está apitando, e um passageiro no outro trem percebe o som com duas frequências diferentes: 525,2 Hz quando os trens estão se aproximando e 368,6 Hz quando estão se afastando. A velocidade do som no ar é de 340 m/s. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade dos trens usando o efeito Doppler.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar do que é o efeito Doppler. Basicamente, é o fenômeno que ocorre quando há uma mudança na frequência do som percebida por um observador devido ao movimento relativo entre a fonte do som e o observador. No nosso caso, temos duas situações: quando os trens estão se aproximando e quando estão se afastando.

Passo 3

Vamos usar a fórmula do efeito Doppler para cada situação. A fórmula geral é:
f' = f times ( v + vov - vs )
Onde:
  • $ f’ $ é a frequência percebida.
  • $ f $ é a frequência emitida pela fonte.
  • $ v $ é a velocidade do som no ar.
  • $ v_o $ é a velocidade do observador.
  • $ v_s $ é a velocidade da fonte.
No nosso caso, o observador e a fonte têm a mesma velocidade, e como os trens têm velocidades opostas, podemos simplificar a fórmula.

Passo 4

Quando os trens estão se aproximando, a frequência percebida $ f_a $ é 525,2 Hz. Nesse caso, a fórmula fica:
fa
Mas isso não está correto, vamos ajustar.
Na verdade, quando os trens estão se aproximando, o observador está se movendo em direção à fonte, então a fórmula correta é:
fa = f times ( v + vv ) = f times ( v + vv ) = f times v + vv = f times (1 + vv) = f times 2
Como $ v_o = v_s = u $ (velocidade dos trens), então:
fa = f times ( v + vov - vs )

Passo 5

Quando os trens estão se afastando, a frequência percebida $ f_d $ é 368,6 Hz. A fórmula nesse caso é:
fd
Substituindo $ v_o = v_s = u $:
fd = f times ( v - vov + vs )

Passo 6

Agora temos duas equações:
525,2 = f times ( 340 + u340 - u )
368,6 = f times ( 340 - u340 + u )
Podemos dividir a primeira equação pela segunda para eliminar $ f $:
f

Passo 7

Calculando a razão das frequências:
525,2368,6 approx 1,424
Então:
1,424 = ( 340 + u340 - u )^2
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
raiz1,424 approx 1,193
Portanto:
340 + u340 - u = 1,193

Passo 8

Agora, vamos resolver para $ u $:
u
340 + u = 1,193 times (340 - u)
340 + u = 1,193 times 340 - 1,193 times u
Somando $ 1,193u $ em ambos os lados:
340 + u = 405,62 - 1,193u
1,193u
Subtraindo 340 de ambos os lados:
340 + u + 1,193u = 405,62
Dividindo por 2,193:
340 + 2,193u = 405,62

Resposta

A velocidade de cada trem é aproximadamente 29,93 metros por segundo.

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