(2,5 pontos) Um condutor infinitamente longo de raio a é percorrido por uma corrente uniforme com J=J0 z. Demonstre que o potencial vetor magnético para s é:
A=-14 muO J0 s^2 z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um condutor muito, muito longo (tipo, infinitamente longo mesmo) com raio $ a $. Esse condutor está carregando uma corrente elétrica que é uniforme e segue na direção $ \hat{z} a éé \vec{A} $) na eletrodinâmica, e para isso precisamos entender um pouco sobre campos magnéticos gerados por correntes elétricas. Nosso objetivo é mostrar que, para pontos dentro do condutor (onde a distância $ s $ do ponto ao centro é menor que $ a $), o potencial vetor magnético é dado por:
z

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial vetor magnético $ \vec{A} $ está relacionado ao campo magnético $ \vec{B} $ pela equação:
A
Então, se a gente consegue achar $ \vec{A} $, dá pra obter $ \vec{B} $ e vice-versa. No nosso caso, queremos expressar $ \vec{A} $ diretamente.

Passo 3

Como o condutor é infinitamente longo e a corrente é uniforme, a simetria do problema nos ajuda bastante. Em coordenadas cilíndricas ($ s, \phi, z $), o potencial vetor magnético terá apenas componente na direção $ \hat{z} $, ou seja:
s, phi, z
Isso simplifica as coisas porque só precisamos descobrir como $ A_z $ depende de $ s $.

Passo 4

Agora, vamos usar uma das equações de Maxwell que relaciona $ \vec{A} $ com a densidade de corrente $ \vec{J} $:
A
Aqui, $ \nabla^2 $ é o operador laplaciano. Como nossa corrente $ \vec{J} $ é uniforme e na direção $ \hat{z} $, podemos escrever:
J
Então, substituindo na equação:
nabla^2 A = -mu0 J

Passo 5

Vamos calcular o laplaciano de $ A_z(s) $ em coordenadas cilíndricas. O laplaciano para uma função que depende só de $ s $ é:
Az(s)
Portanto, a equação fica:
s

Passo 6

Vamos resolver essa equação diferencial. Multiplicando ambos os lados por $ s $:
s
Integrando ambos os lados em relação a $ s $:
dds ( s dAzds ) = -mu0 J0 s
Onde $ C $ é a constante de integração. Para resolver $ C $, consideramos que em $ s = 0 $, o potencial deve ser bem comportado (não deve divergir), o que implica que $ C = 0 $.

Passo 7

Agora, temos:
dAzds = -12 mu0 J0 s
Integrando novamente em relação a $ s $:
s
Outra constante de integração $ D $. Novamente, por simetria e para manter $ \vec{A} $ bem comportado no centro, $ D = 0 $.

Passo 8

Portanto, o potencial vetor magnético fica:
A = -14 mu0 J0 s^2 z
Isso mostra o que queríamos demonstrar para $ s < a $.

Resposta

O potencial vetor magnético para $ s < a $ é dado por:
s < a

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