(2,5 pontos) Um condutor infinitamente longo de raio
é percorrido por uma corrente uniforme com
. Demonstre que o potencial vetor magnético para
é:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um condutor muito, muito longo (tipo, infinitamente longo mesmo) com raio $ a $. Esse condutor está carregando uma corrente elétrica que é uniforme e segue na direção $ \hat{z}
\vec{A} $) na eletrodinâmica, e para isso precisamos entender um pouco sobre campos magnéticos gerados por correntes elétricas. Nosso objetivo é mostrar que, para pontos dentro do condutor (onde a distância $ s $ do ponto ao centro é menor que $ a $), o potencial vetor magnético é dado por:
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial vetor magnético $ \vec{A} $ está relacionado ao campo magnético $ \vec{B} $ pela equação:
Então, se a gente consegue achar $ \vec{A} $, dá pra obter $ \vec{B} $ e vice-versa. No nosso caso, queremos expressar $ \vec{A} $ diretamente.
Passo 3
Como o condutor é infinitamente longo e a corrente é uniforme, a simetria do problema nos ajuda bastante. Em coordenadas cilíndricas ($ s, \phi, z $), o potencial vetor magnético terá apenas componente na direção $ \hat{z} $, ou seja:
Isso simplifica as coisas porque só precisamos descobrir como $ A_z $ depende de $ s $.
Passo 4
Agora, vamos usar uma das equações de Maxwell que relaciona $ \vec{A} $ com a densidade de corrente $ \vec{J} $:
Aqui, $ \nabla^2 $ é o operador laplaciano. Como nossa corrente $ \vec{J} $ é uniforme e na direção $ \hat{z} $, podemos escrever:
Então, substituindo na equação:
Passo 5
Vamos calcular o laplaciano de $ A_z(s) $ em coordenadas cilíndricas. O laplaciano para uma função que depende só de $ s $ é:
Portanto, a equação fica:
Passo 6
Vamos resolver essa equação diferencial. Multiplicando ambos os lados por $ s $:
Integrando ambos os lados em relação a $ s $:
Onde $ C $ é a constante de integração. Para resolver $ C $, consideramos que em $ s = 0 $, o potencial deve ser bem comportado (não deve divergir), o que implica que $ C = 0 $.
Passo 7
Agora, temos:
Integrando novamente em relação a $ s $:
Outra constante de integração $ D $. Novamente, por simetria e para manter $ \vec{A} $ bem comportado no centro, $ D = 0 $.
Passo 8
Portanto, o potencial vetor magnético fica:
Isso mostra o que queríamos demonstrar para $ s < a $.
Resposta
O potencial vetor magnético para $ s < a $ é dado por: