Uma espira retangular ocupa uma posição arbitrária num campo magnético externo. Que trabalho é necessário para girar a espira em torno de um eixo perpendicular ao seu plano?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma espira retangular posicionada de forma arbitrária em um campo magnético externo. A pergunta é: qual o trabalho necessário para girar essa espira em torno de um eixo perpendicular ao seu plano?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de torque e energia magnética que são parte da matéria de eletromagnetismo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é momento magnético da espira. O momento magnético mu de uma espira é dado por:
mu = N cdot I cdot A
Onde:
  • N é o número de voltas da espira,
  • I é a corrente que passa pela espira,
  • A é o vetor área da espira (que depende do tamanho e orientação dela).

Passo 3

Agora, quando a espira está em um campo magnético B, sofre um torque tau que tenta alinhar o momento magnético com o campo. Esse torque é dado por:
tau = mu times B
Como a espira está sendo girada, o torque depende do ângulo theta entre mu e B. A magnitude do torque fica:
tau = mu cdot B cdot sin theta

Passo 4

O trabalho W necessário para girar a espira é o trabalho realizado contra esse torque. Para calcular, integrando o torque em relação ao ângulo de rotação:
W = integraltheta1^theta2 tau , dtheta = integraltheta1^theta2 mu B sin theta , dtheta

Resposta

Resolvendo a integral, obtemos:
W = mu B (cos theta1 - cos theta2)
Então, o trabalho necessário para girar a espira de um ângulo theta1 para theta2 é:
W = mu B (cos theta1 - cos theta2)

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