Dois dos vértices de um triangulo equilátero ABC sao A (2,-5) e B(3,-4). Determine as cordenadas do vértice C

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente encontrar as coordenadas do terceiro vértice $ C $ de um triângulo equilátero $ ABC $, sabendo que dois vértices são $ A(2, -5) $ e $ B(3, -4) $. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância e um pouco de geometria de triângulos equiláteros.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a distância entre os pontos $ A $ e $ B $. Isso nos dará o lado do triângulo equilátero. A fórmula da distância entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é:
A
Vamos aplicar isso para $ A(2, -5) $ e $ B(3, -4) $:
B
Então, cada lado do triângulo mede $ \sqrt{2} $.

Passo 3

Agora, para encontrar o ponto $ C $, precisamos entender que em um triângulo equilátero, os vértices formam 60 graus entre si. Isso significa que existem duas possibilidades para o ponto $ C $, uma de cada lado da linha $ AB $.
Vamos usar coordenadas vetoriais para encontrar essas possíveis posições. Primeiro, vamos encontrar o vetor que vai de $ A $ para $ B $:
C
Para encontrar $ \vec{AC} $, que também terá comprimento $ \sqrt{2} $ mas formando um ângulo de 60 graus com $ \vec{AB} $, podemos rotacionar $ \vec{AB} $ 60 graus para um dos lados.

Passo 4

A rotação de um vetor $ (x, y) $ em $ \theta $ graus é dada pela matriz de rotação:

$$
(x, y)
theta

costheta & -sintheta sintheta & costheta x y = xcostheta - ysintheta xsintheta + ycostheta
$$
Como $ \theta = 60^\circ $, temos $ \cos60^\circ = 0,5 $ e $ \sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Aplicando a rotação:
theta = 60^circ

Passo 5

Agora, adicionamos esse vetor ao ponto $ A $ para encontrar as coordenadas de $ C $:
Primeira possibilidade:
A
Segunda possibilidade (rotacionando para o outro lado, ou seja, usando $ -60^\circ $):
C
Então,
C1 = A + AC = (2 + 0,5 - raiz32, -5 + raiz32 + 0,5) = (2,5 - raiz32, -4,5 + raiz32)

Passo 6

Portanto, temos duas possíveis coordenadas para o ponto $ C $:
C
e
C1 = (2,5 - raiz32, -4,5 + raiz32)

Resposta

As coordenadas do vértice $ C $ podem ser:
C
ou
C1 (2,5 - raiz32, -4,5 + raiz32)

Exercícios relacionados