Dois dos vértices de um triangulo equilátero ABC sao A (2,-5) e B(3,-4). Determine as cordenadas do vértice C
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente encontrar as coordenadas do terceiro vértice $ C $ de um triângulo equilátero $ ABC $, sabendo que dois vértices são $ A(2, -5) $ e $ B(3, -4) $. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância e um pouco de geometria de triângulos equiláteros.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a distância entre os pontos $ A $ e $ B $. Isso nos dará o lado do triângulo equilátero. A fórmula da distância entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é:
Vamos aplicar isso para $ A(2, -5) $ e $ B(3, -4) $:
Então, cada lado do triângulo mede $ \sqrt{2} $.
Passo 3
Agora, para encontrar o ponto $ C $, precisamos entender que em um triângulo equilátero, os vértices formam 60 graus entre si. Isso significa que existem duas possibilidades para o ponto $ C $, uma de cada lado da linha $ AB $.
Vamos usar coordenadas vetoriais para encontrar essas possíveis posições. Primeiro, vamos encontrar o vetor que vai de $ A $ para $ B $:
Para encontrar $ \vec{AC} $, que também terá comprimento $ \sqrt{2} $ mas formando um ângulo de 60 graus com $ \vec{AB} $, podemos rotacionar $ \vec{AB} $ 60 graus para um dos lados.
Passo 4
A rotação de um vetor $ (x, y) $ em $ \theta $ graus é dada pela matriz de rotação:
$$
$$
Como $ \theta = 60^\circ $, temos $ \cos60^\circ = 0,5 $ e $ \sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Aplicando a rotação:
Passo 5
Agora, adicionamos esse vetor ao ponto $ A $ para encontrar as coordenadas de $ C $:
Primeira possibilidade:
Segunda possibilidade (rotacionando para o outro lado, ou seja, usando $ -60^\circ $):
Então,
Passo 6
Portanto, temos duas possíveis coordenadas para o ponto $ C $:
e
Resposta
As coordenadas do vértice $ C $ podem ser:
ou