A população de uma cultura de bactérias dobra a cada 2 minutos. Aproximadamente quantos minutos seriam necessários para a população crescer de 1.000 para 500.000 bactérias?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o crescimento de uma população de bactérias que dobra a cada 2 minutos. Precisamos descobrir quantos minutos levariam para essa população crescer de 1.000 para 500.000 bactérias. Para resolver isso, vamos usar a matéria de crescimento exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “crescimento exponencial”. Esse tipo de crescimento acontece quando a quantidade cresce a uma taxa proporcional ao seu valor atual. No nosso caso, as bactérias dobram de número a cada 2 minutos.

Passo 3

A fórmula para o crescimento exponencial é:
N(t) = N0 times 2^( tT )
Onde:
  • $ N(t) $ é a população no tempo $ t $
  • $ N_0 $ é a população inicial
  • $ T $ é o tempo que leva para a população dobrar

Passo 4

Vamos identificar os valores que temos:
  • População inicial ($ N_0 $) = 1.000 bactérias
  • População final ($ N(t) $) = 500.000 bactérias
  • Tempo para dobrar ($ T $) = 2 minutos
Queremos encontrar $ t $, o tempo total necessário para chegar de 1.000 a 500.000 bactérias.

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
500.000 = 1.000 times 2^( t2 )

Passo 6

Vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por 1.000:
500 = 2^( t2 )

Passo 7

Para resolver para $ t $, vamos usar logaritmos. O logaritmo nos ajuda a “tirar” o expoente da equação. Vamos usar o logaritmo na base 2:
t

Passo 8

Agora, isolamos $ t $:
t
Calculando o logaritmo de 500 na base 2, sabemos que $ 2^9 = 512 $, que é bem próximo de 500. Então, $ \log_2(500) $ é aproximadamente 9.
t = 2 times log2(500)

Resposta

Portanto, são necessários aproximadamente 18 minutos para a população de bactérias crescer de 1.000 para 500.000.

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