A população de uma cultura de bactérias dobra a cada 2 minutos. Aproximadamente quantos minutos seriam necessários para a população crescer de 1.000 para 500.000 bactérias?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o crescimento de uma população de bactérias que dobra a cada 2 minutos. Precisamos descobrir quantos minutos levariam para essa população crescer de 1.000 para 500.000 bactérias. Para resolver isso, vamos usar a matéria de crescimento exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “crescimento exponencial”. Esse tipo de crescimento acontece quando a quantidade cresce a uma taxa proporcional ao seu valor atual. No nosso caso, as bactérias dobram de número a cada 2 minutos.
Passo 3
A fórmula para o crescimento exponencial é:
Onde:
- $ N(t) $ é a população no tempo $ t $
- $ N_0 $ é a população inicial
- $ T $ é o tempo que leva para a população dobrar
Passo 4
Vamos identificar os valores que temos:
- População inicial ($ N_0 $) = 1.000 bactérias
- População final ($ N(t) $) = 500.000 bactérias
- Tempo para dobrar ($ T $) = 2 minutos
Queremos encontrar $ t $, o tempo total necessário para chegar de 1.000 a 500.000 bactérias.
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 6
Vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por 1.000:
Passo 7
Para resolver para $ t $, vamos usar logaritmos. O logaritmo nos ajuda a “tirar” o expoente da equação. Vamos usar o logaritmo na base 2:
Passo 8
Agora, isolamos $ t $:
Calculando o logaritmo de 500 na base 2, sabemos que $ 2^9 = 512 $, que é bem próximo de 500. Então, $ \log_2(500) $ é aproximadamente 9.
Resposta
Portanto, são necessários aproximadamente 18 minutos para a população de bactérias crescer de 1.000 para 500.000.