Para os dois vetores
Determine
(a) e
(b) a componente de ao longo de
© o ângulo entre e
(d)
(e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve vetores. Aqui temos dois vetores, e , e precisamos realizar algumas operações com eles, como subtração, encontrar magnitudes, componentes, ângulo entre eles, e produtos vetoriais. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra vetorial, como operações de vetores, produto escalar e produto vetorial.

Passo 2

Parte (a): e

Primeiro, vamos calcular a diferença entre os vetores e .
Subtraindo de :
Agora, para encontrar a magnitude desse vetor, usamos a fórmula:
Aplicando aos componentes de :

Passo 3

Parte (b): A componente de ao longo de

A componente de um vetor na direção de é dada pela projeção de em :
Primeiro, calculamos o produto escalar :
Agora, encontramos a magnitude de :
Então, a componente é:

Passo 4

Parte ©: O ângulo entre e

Para encontrar o ângulo entre dois vetores, usamos a fórmula do produto escalar:
Já sabemos que . Agora, calculamos as magnitudes de e :
Agora, isolamos :
Para encontrar , tiramos o arco cosseno:

Passo 5

Parte (d):

O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor perpendicular aos dois. Usamos a regra do determinante:
Calculando o determinante:

Passo 6

Parte (e):

Primeiro, vamos calcular :
Já temos .
Agora, calculamos o produto vetorial:
Calculando o determinante:

Resposta

(a) e
(b) A componente de ao longo de é aproximadamente
© O ângulo entre e é aproximadamente
(d)
(e)

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Mostre que