Para os dois vetores
A=imath+2 jmath-k, B=-2 imath+3 jmath+k
Determine
(a) A-B e |A-B|
(b) a componente de B ao longo de A
© o ângulo entre A e B
(d) A times B
(e) (A-B) times(A+B)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve vetores. Aqui temos dois vetores, e , e precisamos realizar algumas operações com eles, como subtração, encontrar magnitudes, componentes, ângulo entre eles, e produtos vetoriais. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra vetorial, como operações de vetores, produto escalar e produto vetorial.

Passo 2

Parte (a): A = imath + 2jmath - k e B = -2imath + 3jmath + k

Primeiro, vamos calcular a diferença entre os vetores A - B = (imath - (-2imath)) + (2jmath - 3jmath) + (-k - k) e A - B = 3imath - jmath - 2k .
|V| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
|A - B| = raiz3^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = raiz9 + 1 + 4 = raiz14 approx 3,74
Subtraindo de :
Agora, para encontrar a magnitude desse vetor, usamos a fórmula:
Aplicando aos componentes de :

Passo 3

Parte (b): A componente de Componente = A cdot B|A| ao longo de A cdot B = (1)(-2) + (2)(3) + (-1)(1) = -2 + 6 - 1 = 3

A componente de um vetor |A| = raiz1^2 + 2^2 + (-1)^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6 approx 2,45 na direção de Componente = 32,45 approx 1,22 é dada pela projeção de em :
Primeiro, calculamos o produto escalar :
Agora, encontramos a magnitude de :
Então, a componente é:

Passo 4

Parte ©: O ângulo entre A cdot B = |A| |B| cos theta e |A| = raiz1^2 + 2^2 + (-1)^2 = raiz6 approx 2,45

Para encontrar o ângulo |B| = raiz(-2)^2 + 3^2 + 1^2 = raiz4 + 9 + 1 = raiz14 approx 3,74 entre dois vetores, usamos a fórmula do produto escalar:
cos theta = A cdot B|A| |B| = 32,45 times 3,74 approx 39,16 approx 0,327
Já sabemos que theta = cos^-1(0,327) approx 70^circ . Agora, calculamos as magnitudes de e :
Agora, isolamos :
Para encontrar , tiramos o arco cosseno:

Passo 5

Parte (d): A times B = imath & jmath & k 1 & 2 & -1 -2 & 3 & 1

O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor perpendicular aos dois. Usamos a regra do determinante:
A times B = imath(2 times 1 - (-1) times 3) - jmath(1 times 1 - (-1) times (-2)) + k(1 times 3 - 2 times (-2))
Calculando o determinante:
= imath(2 + 3) - jmath(1 - 2) + k(3 + 4)
= 5imath + jmath + 7k

Passo 6

Parte (e): A + B = (imath + (-2)imath) + (2jmath + 3jmath) + (-k + k) = (-1)imath + 5jmath + 0k

Primeiro, vamos calcular (A - B) times (A + B) = imath & jmath & k 3 & -1 & -2 -1 & 5 & 0 :
= imath((-1)(0) - (-2)(5)) - jmath(3(0) - (-2)(-1)) + k(3(5) - (-1)(-1))
Já temos = imath(0 + 10) - jmath(0 - 2) + k(15 - 1) .
Agora, calculamos o produto vetorial:
= 10imath + 2jmath + 14k
Calculando o determinante:

Resposta

(a) e
(b) A componente de ao longo de é aproximadamente
© O ângulo entre e é aproximadamente
(d)
(e)

Exercícios relacionados