Determine o ângulo entre as superficies definidas por r^2=9 e x+y+z^2=1 no ponto (2,-2,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ângulo entre duas superfícies no ponto . As superfícies são definidas por e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente envolvendo vetores normais e o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada equação representa. A equação é a equação de uma esfera com raio 3 centrada na origem. Já define uma superfície que podemos tratar como uma função implícita.

Passo 3

Para encontrar o ângulo entre as superfícies no ponto dado, precisamos descobrir os vetores normais a cada superfície nesse ponto. O vetor normal pode ser encontrado calculando o gradiente da função que define a superfície.

Passo 4

Vamos começar com a esfera r^2 = x^2 + y^2 + z^2 = 9 . Escrevendo em termos de coordenadas:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) = (2x, 2y, 2z)
O gradiente dessa função é:
n1 = (2 times 2, 2 times (-2), 2 times 1) = (4, -4, 2)
No ponto , o vetor normal à esfera é:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda superfície nabla g = ( partial gpartial x, partial gpartial y, partial gpartial z ) = (1, 1, 2z) . O gradiente dessa função é:
n2 = (1, 1, 2 times 1) = (1, 1, 2)
No ponto , o vetor normal é:

Passo 6

Agora que temos os dois vetores normais n1 cdot n2 = |n1| , |n2| cos theta e n1 cdot n2 = 4 times 1 + (-4) times 1 + 2 times 2 = 4 - 4 + 4 = 4 , vamos usar a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo |n1| = raiz4^2 + (-4)^2 + 2^2 = raiz16 + 16 + 4 = raiz36 = 6 entre eles:
|n2| = raiz1^2 + 1^2 + 2^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6
Onde:
E as normas dos vetores são:

Passo 7

Agora, substituímos na fórmula do produto escalar:
4 = 6 times raiz6 times cos theta
Resolvendo para cos theta = 46 raiz6 = 23 raiz6 = 2 raiz618 = raiz69 :
theta = arccos(raiz69)
Agora, tiramos o arco cosseno para encontrar theta approx 75,96^circ :
Calculando esse valor, temos aproximadamente:

Resposta

O ângulo entre as superfícies e no ponto é aproximadamente .

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