Determine o ângulo entre as superficies definidas por
e
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ângulo entre duas superfícies no ponto
. As superfícies são definidas por
e
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente envolvendo vetores normais e o produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada equação representa. A equação
é a equação de uma esfera com raio 3 centrada na origem. Já
define uma superfície que podemos tratar como uma função implícita.
Passo 3
Para encontrar o ângulo entre as superfícies no ponto dado, precisamos descobrir os vetores normais a cada superfície nesse ponto. O vetor normal pode ser encontrado calculando o gradiente da função que define a superfície.
Passo 4
Vamos começar com a esfera
. Escrevendo em termos de coordenadas:
O gradiente dessa função é:
No ponto
, o vetor normal à esfera é:
Passo 5
Agora, vamos para a segunda superfície
. O gradiente dessa função é:
No ponto
, o vetor normal é:
Passo 6
Agora que temos os dois vetores normais
e
, vamos usar a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo
entre eles:
Onde:
E as normas dos vetores são:
Passo 7
Agora, substituímos na fórmula do produto escalar:
Resolvendo para
:
Agora, tiramos o arco cosseno para encontrar
:
Calculando esse valor, temos aproximadamente:
Resposta
O ângulo entre as superfícies
e
no ponto
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Para os dois vetores
Determine
(a) e
(b) a componente de ao longo de
© o ângulo entre e
(d)
(e)
(a)
(b) a componente de
© o ângulo entre
(d)
(e)
Determine as forças que atuam ao longo dos
eixos de cada uma das três barras que são usadas para
suportar o bloco de 500 kg .
(Resposta: 😉
eixos de cada uma das três barras que são usadas para
suportar o bloco de 500 kg .
(Resposta:
Mostre que
Três barras feitas de diferentes materiais são conectadas e colocadas entre duas paredes rígidas quando a temperatura é
. Determine a força exercida nos apoios quando a temperatura é
.