Determine o ângulo entre as superficies definidas por e no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ângulo entre duas superfícies no ponto . As superfícies são definidas por e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente envolvendo vetores normais e o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada equação representa. A equação é a equação de uma esfera com raio 3 centrada na origem. Já define uma superfície que podemos tratar como uma função implícita.

Passo 3

Para encontrar o ângulo entre as superfícies no ponto dado, precisamos descobrir os vetores normais a cada superfície nesse ponto. O vetor normal pode ser encontrado calculando o gradiente da função que define a superfície.

Passo 4

Vamos começar com a esfera . Escrevendo em termos de coordenadas:
O gradiente dessa função é:
No ponto , o vetor normal à esfera é:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda superfície . O gradiente dessa função é:
No ponto , o vetor normal é:

Passo 6

Agora que temos os dois vetores normais e , vamos usar a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre eles:
Onde:
E as normas dos vetores são:

Passo 7

Agora, substituímos na fórmula do produto escalar:
Resolvendo para :
Agora, tiramos o arco cosseno para encontrar :
Calculando esse valor, temos aproximadamente:

Resposta

O ângulo entre as superfícies e no ponto é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Para os dois vetores
Determine
(a) e
(b) a componente de ao longo de
© o ângulo entre e
(d)
(e)
Determine as forças que atuam ao longo dos
eixos de cada uma das três barras que são usadas para
suportar o bloco de 500 kg .
(Resposta: 😉
Mostre que
Três barras feitas de diferentes materiais são conectadas e colocadas entre duas paredes rígidas quando a temperatura é . Determine a força exercida nos apoios quando a temperatura é .