Mostre que
nabla(ln |r|)=rr^2

Passo 1

Neste exercício, a gente precisa mostrar que o gradiente de ln |r| é igual a rr^2. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo do gradiente de uma função escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada símbolo representa. Aqui, r é o vetor posição, e |r| é a magnitude desse vetor, que chamamos de r. Então, temos que:
r = |r| = raizx^2 + y^2 + z^2

Passo 3

A função que queremos derivar é f(r) = ln r. O gradiente de uma função escalar f em coordenadas cartesianas é dado por:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z )
Isso significa que vamos calcular as derivadas parciais de f em relação a cada coordenada.

Passo 4

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada em relação a x:
partial fpartial x = partialpartial x (ln r) = 1r cdot partial rpartial x
Sabemos que:
partial rpartial x = xr
Então:
partial fpartial x = xr^2
  1. Derivada em relação a y:
partial fpartial y = yr^2
  1. Derivada em relação a z:
partial fpartial z = zr^2

Passo 5

Agora, juntando todas as derivadas parciais, o gradiente fica:
nabla (ln r) = ( xr^2, yr^2, zr^2 )
Podemos escrever isso de forma mais compacta utilizando o vetor r:
nabla (ln r) = rr^2

Resposta

nabla(ln |r|)=rr^2

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