Mostre que
Passo 1
Neste exercício, a gente precisa mostrar que o gradiente de
é igual a
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo do gradiente de uma função escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada símbolo representa. Aqui,
é o vetor posição, e
é a magnitude desse vetor, que chamamos de
. Então, temos que:
Passo 3
A função que queremos derivar é
. O gradiente de uma função escalar
em coordenadas cartesianas é dado por:
Isso significa que vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a cada coordenada.
Passo 4
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada em relação a
:
Sabemos que:
Então:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
Passo 5
Agora, juntando todas as derivadas parciais, o gradiente fica:
Podemos escrever isso de forma mais compacta utilizando o vetor
: