Mostre que

Passo 1

Neste exercício, a gente precisa mostrar que o gradiente de é igual a . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo do gradiente de uma função escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada símbolo representa. Aqui, é o vetor posição, e é a magnitude desse vetor, que chamamos de . Então, temos que:

Passo 3

A função que queremos derivar é . O gradiente de uma função escalar em coordenadas cartesianas é dado por:
Isso significa que vamos calcular as derivadas parciais de em relação a cada coordenada.

Passo 4

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada em relação a :
Sabemos que:
Então:
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :

Passo 5

Agora, juntando todas as derivadas parciais, o gradiente fica:
Podemos escrever isso de forma mais compacta utilizando o vetor :

Resposta

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Determine o ângulo entre as superficies definidas por e no ponto .
Para os dois vetores
Determine
(a) e
(b) a componente de ao longo de
© o ângulo entre e
(d)
(e)
Três barras feitas de diferentes materiais são conectadas e colocadas entre duas paredes rígidas quando a temperatura é . Determine a força exercida nos apoios quando a temperatura é .
A barra rígida é suportada por duas barras elásticas, e , de seção transversal retangular uniforme de e feitas de um aço doce considerado elastoplástico ( e ). A intensidade da força aplicada em é aumentada gradualmente de zero a 260 kN. Sabendo que , determine (a) o valor da tensão normal em cada barra elástica e (b) o deslocamento máximo do ponto .