Mostre que
Passo 1
Neste exercício, a gente precisa mostrar que o gradiente de
é igual a
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo do gradiente de uma função escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada símbolo representa. Aqui,
é o vetor posição, e
é a magnitude desse vetor, que chamamos de
. Então, temos que:
Passo 3
A função que queremos derivar é
. O gradiente de uma função escalar
em coordenadas cartesianas é dado por:
Isso significa que vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a cada coordenada.
Passo 4
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada em relação a
:
Sabemos que:
Então:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
Passo 5
Agora, juntando todas as derivadas parciais, o gradiente fica:
Podemos escrever isso de forma mais compacta utilizando o vetor
:
Resposta
Exercícios relacionados
Determine o ângulo entre as superficies definidas por
e
no ponto
.
Para os dois vetores
Determine
(a) e
(b) a componente de ao longo de
© o ângulo entre e
(d)
(e)
(a)
(b) a componente de
© o ângulo entre
(d)
(e)
Três barras feitas de diferentes materiais são conectadas e colocadas entre duas paredes rígidas quando a temperatura é
. Determine a força exercida nos apoios quando a temperatura é
.
A barra rígida
é suportada por duas barras elásticas,
e
, de seção transversal retangular uniforme de
e feitas de um aço doce considerado elastoplástico (
e
). A intensidade da força
aplicada em
é aumentada gradualmente de zero a 260 kN. Sabendo que
, determine (a) o valor da tensão normal em cada barra elástica e (b) o deslocamento máximo do ponto
.