Dois vetores são dados por a=(3,0) i+(5,0) j e b=(2,0) i+(4,0) j. Encontre (a) a times b, (b) (a+b) times b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois vetores, e . Precisamos calcular dois produtos vetoriais: (a) e (b) . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto vetorial entre vetores no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores u times v = (uy vz - uz vy)i - (ux vz - uz vx)j + (ux vy - uy vx)k e é dado por:
Esse produto resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores iniciais. Mesmo que nossos vetores e estejam no plano (ou seja, ), podemos aplicar essa fórmula tratando-os como vetores tridimensionais com a componente igual a zero.

Passo 3

Vamos identificar as componentes dos vetores:
a = 3i + 5j + 0k b = 2i + 4j + 0k

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial a times b = i & j & k 3 & 5 & 0 2 & 4 & 0 usando a fórmula que mencionamos:
a times b = (5 cdot 0 - 0 cdot 4)i - (3 cdot 0 - 0 cdot 2)j + (3 cdot 4 - 5 cdot 2)k = 0i - 0j + (12 - 10)k = 2k
Resolvendo o determinante:

Passo 5

Para a parte (b), precisamos calcular a + b = (3 + 2)i + (5 + 4)j + (0 + 0)k = 5i + 9j + 0k . Primeiro, vamos somar os vetores (a + b) times b = i & j & k 5 & 9 & 0 2 & 4 & 0 e (a + b) times b = (9 cdot 0 - 0 cdot 4)i - (5 cdot 0 - 0 cdot 2)j + (5 cdot 4 - 9 cdot 2)k = 0i - 0j + (20 - 18)k = 2k :
Agora, vamos calcular o produto vetorial :
Resolvendo o determinante:

Resposta

(a)
(b)

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