Duas bobinas conectadas em série aditiva possuem uma indutância total de 250 mH . Quando conectadas em série subtrativa, as bobinas possuem uma indutância total de 150 mH . Se a indutância de bobina L1 é três vezes a das outras, encontre L1, L2 e M. Qual é o coeficiente de acoplamento?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre indutâncias de bobinas conectadas em série de duas maneiras: aditiva e subtrativa. A gente vai precisar entender como calcular a indutância total nessas configurações e usar as informações que a questão dá para encontrar os valores de , e . No final, também vamos descobrir o coeficiente de acoplamento .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a conexão em série aditiva e subtrativa de bobinas. Quando duas bobinas estão em série:
  • Série Aditiva: A indutância total é a soma das indutâncias individuais mais duas vezes a mutualização ( Ltotal = L1 + L2 + 2M ). A fórmula fica:
    Ltotal = L1 + L2 - 2M
  • Série Subtrativa: A indutância total é a soma das indutâncias individuais menos duas vezes a mutualização ( ). A fórmula fica:
Essas relações são fundamentais para resolver o problema.

Passo 3

A questão diz que quando as bobinas estão em série aditiva, a indutância total é de 250 mH, e quando estão em série subtrativa, é de 150 mH. Além disso, sabemos que L1 = 3L2 é três vezes L1 + L2 + 2M = 250 , mH , ou seja:
L1 + L2 - 2M = 150 , mH
Vamos usar essas informações para montar duas equações usando as fórmulas que vimos:
  1. Para a configuração aditiva:
  2. Para a configuração subtrativa:

Passo 4

Agora, vamos substituir 3L2 + L2 + 2M = 250 por 4L2 + 2M = 250 nas duas equações:
  1. Aditiva:
    3L2 + L2 - 2M = 150
    Simplificando:
    4L2 - 2M = 150
  2. Subtrativa:
    Simplificando:

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( 4L2 + 2M = 250 4L2 - 2M = 150 e (4L2 + 2M) + (4L2 - 2M) = 250 + 150 8L2 = 400 L2 = 50 , mH ):
Vamos resolver esse sistema. Podemos somar as duas equações para eliminar :

Passo 6

Agora que temos L1 = 3 times 50 = 150 , mH , podemos encontrar usando :

Passo 7

Com 4L2 + 2M = 250 4 times 50 + 2M = 250 200 + 2M = 250 2M = 50 M = 25 , mH e , vamos voltar a uma das equações para encontrar . Vamos usar a equação aditiva:

Passo 8

Agora, para encontrar o coeficiente de acoplamento k = MraizL1 L2 , usamos a fórmula:
k = 25raiz150 times 50 = 25raiz7500 = 2586.6 approx 0.289
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

, , e o coeficiente de acoplamento é aproximadamente 0,289.

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