Duas cargas elétricas Q e –4Q estão separadas por uma distância d. Sobre a linha que une o centro das duas cargas existe um ponto P para o qual o campo elétrico resultante das mesmas é nulo. Considerando K a constante eletrostática do meio, o potencial elétrico no referido ponto é expresso por.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática juntos! A gente tem duas cargas elétricas: uma de valor $ Q $ e outra de $ -4Q $, separadas por uma distância $ d $. O objetivo é encontrar o potencial elétrico em um ponto $ P $ na linha que une o centro dessas duas cargas, onde o campo elétrico resultante delas é nulo. Para isso, vamos precisar entender conceitos de campo elétrico e potencial elétrico, além de usar a constante eletrostática $ K $.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a posição do ponto $ P $ onde o campo elétrico resultante é zero. O campo elétrico devido a uma carga pontual é dado por:
Onde:
- $ E $ é o campo elétrico,
- $ K $ é a constante eletrostática,
- $ Q $ é a carga,
- $ r $ é a distância da carga ao ponto onde estamos calculando o campo.
Como temos duas cargas, $ Q $ e $ -4Q $, vamos chamar a distância de $ Q $ até $ P $ de $ x $. Assim, a distância de $ -4Q $ até $ P $ será $ d - x $.
Para que o campo resultante seja nulo, os campos elétricos de $ Q $ e $ -4Q $ devem se cancelar. Como as cargas são de sinais opostos, os campos elétricos estarão em direções opostas.
Então, temos:
Podemos simplificar $ K $ e $ Q $ dos dois lados:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ x $:
Vamos cruzar os termos:
Expanda o lado esquerdo:
Leve todos os termos para um lado:
Simplifique:
Podemos reescrever essa equação como:
Isso é uma equação quadrática na forma $ ax^2 + bx + c = 0 $. Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver:
Onde:
- $ a = 3 $,
- $ b = 2d $,
- $ c = -d^2 $.
Substituindo:
Considerando apenas a solução positiva (pois a distância não pode ser negativa):
Então, o ponto $ P $ está a $ \frac{d}{3} $ da carga $ Q $ e a $ \frac{2d}{3} $ da carga $ -4Q $.
Passo 4
Agora que sabemos onde está o ponto $ P $, vamos calcular o potencial elétrico nesse ponto. O potencial elétrico devido a uma carga pontual é dado por:
O potencial total em $ P $ é a soma dos potenciais devido a cada carga. Lembrando que o potencial é uma grandeza escalar, a soma é direta, independente das direções das cargas.
Então:
Substituindo $ x = \frac{d}{3} $:
Resposta
O potencial elétrico no ponto $ P $ é $ V = -\frac{3KQ}{d} $.