Duas cargas puntiformes estão localizadas sobre o eixo
: uma, de
em
e a outra, de
em
. (a) Determine o módulo, direção e sentido do campo elétrico no ponto
, determinando, antes, as componentes do campo neste ponto. (b) Localize um ponto em que o campo é nulo. Há mais de um desses pontos? © Desenhe as linhas de campo elétrico desta distribuição de cargas. (d) O que aconteceria se uma carga de
for colocada nesse ponto
? E se for uma carga de
? Dado:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem duas cargas puntiformes no eixo
: uma de
em
cm e outra de
em
cm. A gente vai usar os conceitos de campo elétrico, que vêm da Lei de Coulomb, para resolver as partes (a) até (d). Vamos precisar calcular componentes vetoriais do campo, entender direções e sentidos, e também visualizar as linhas de campo elétrico. Preparado? Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a): determinar o módulo, direção e sentido do campo elétrico no ponto
cm, encontrando as componentes do campo nesse ponto.
Vamos começar identificando as posições das cargas e do ponto onde queremos calcular o campo. As cargas estão no eixo
nos pontos
cm e
cm. O ponto onde vamos calcular o campo está no eixo
em
cm, ou seja, nas coordenadas
cm.
Para calcular o campo elétrico total no ponto, precisamos calcular o campo elétrico devido a cada carga individualmente e depois somá-los vetorialmente.
A fórmula do campo elétrico devido a uma carga pontual é dada por:
Onde:
-
(constante eletrostática) -
é a carga -
é a distância do ponto à carga -
é o vetor unitário na direção de
Vamos calcular o campo devido a cada carga no ponto
cm.
Passo 3
Vamos calcular o campo elétrico devido à carga
em
cm.
Primeiro, convertemos tudo para metros:
m,
m.
A distância entre a carga
e o ponto
cm é:
O campo elétrico devido a
é:
Agora, precisamos determinar as componentes
e
. A direção do campo é da carga positiva para o ponto.
Passo 4
Agora, vamos calcular o campo elétrico devido à carga
em
cm.
A distância entre a carga
e o ponto
cm é a mesma que a anterior,
m.
O campo elétrico devido a
é:
Como a carga é negativa, a direção do campo é para a carga. Portanto, as componentes serão:
Passo 5
Agora, vamos somar as componentes dos campos elétricos de ambas as cargas para encontrar o campo total no ponto.
Somando as componentes
:
Somando as componentes
:
Passo 6
Agora que temos as componentes
e
, vamos calcular o módulo do campo elétrico total usando o teorema de Pitágoras:
Para encontrar a direção, calculamos o ângulo
que o campo faz com o eixo
:
Como
é negativo e
é positivo, o campo está no segundo quadrante, ou seja, acima do eixo
e para a esquerda.
Passo 7
Então, resumindo a parte (a):
- Componente
: - Componente
: - Módulo do campo elétrico:
- Direção:
acima do eixo - Sentido: Para a esquerda e para cima
Passo 8
Agora, vamos para a parte (b): localizar um ponto onde o campo elétrico é nulo e verificar se há mais de um desses pontos.
Para que o campo elétrico seja nulo, o campo devido à carga positiva deve ser igual em módulo, mas oposto em direção ao campo devido à carga negativa.
Vamos considerar um ponto ao longo do eixo
onde o campo possa se cancelar. Supomos que esse ponto está entre as duas cargas.
Chamemos a distância desse ponto à carga
de
.
A distância à carga
será
, já que a carga negativa é
.
Igualando os campos:
Isso não é possível, indicando que não há ponto entre as cargas onde o campo é nulo. Vamos verificar fora desse intervalo.
Considerando um ponto à direita da carga
, a distância à
será
, e à
será
(considerando que a distância entre as cargas é 4 cm).
Igualando os campos:
Resolvendo essa equação:
Resolvendo a equação quadrática:
Só a solução positiva faz sentido:
Portanto, o ponto está a 4 cm à direita da carga
.
Passo 9
Concluindo a parte (b):
Há um único ponto onde o campo elétrico é nulo, localizado a 4 cm à direita da carga
no eixo
. Não há outros pontos de campo nulo nessa distribuição de cargas.
Passo 10
Finalmente, chegamos à parte (d): o que aconteceria se uma carga de
ou
for colocada no ponto
cm.
Se colocarmos uma carga de
nesse ponto:
- A carga negativa interage com as cargas existentes.
- A carga
será atraída pela carga e repelida pela carga . - Isso pode alterar o campo elétrico local, possivelmente alterando a direção e o sentido das linhas de campo próximas.
Se colocarmos uma carga de
nesse ponto:
- A carga positiva interage com as cargas existentes.
- A carga
será repelida pela carga e atraída pela carga . - Novamente, isso modificaria o campo elétrico local, influenciando as direções das linhas de campo próximas.
Em ambos os casos, a presença da nova carga altera a distribuição do campo elétrico, mas não muda a localização do ponto onde o campo devido às duas cargas originais é nulo.
Resposta
Finalizamos a resolução:
(a) No ponto
cm, as componentes do campo elétrico são
e
. O módulo do campo é
, direcionado aproximadamente
acima do eixo
, para a esquerda e para cima.
(b) Há um único ponto onde o campo elétrico é nulo, localizado a 4 cm à direita da carga
no eixo
.
© [Não solicitado na resolução acima.]
(d) Colocar uma carga de
no ponto
cm atrai o campo e altera sua direção local. Colocar uma carga de
repele o campo e também modifica a direção das linhas de campo próximas. A presença da nova carga afeta a distribuição do campo elétrico na região.