Duas cargas puntiformes estão localizadas sobre o eixo x: uma, de +1 e em x=+2 cm e a outra, de -4 e em x=-2 cm. (a) Determine o módulo, direção e sentido do campo elétrico no ponto y=3 cm, determinando, antes, as componentes do campo neste ponto. (b) Localize um ponto em que o campo é nulo. Há mais de um desses pontos? © Desenhe as linhas de campo elétrico desta distribuição de cargas. (d) O que aconteceria se uma carga de -1 e for colocada nesse ponto y=3 cm? E se for uma carga de +1 e? Dado: e=1,6.10^-19 C

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem duas cargas puntiformes no eixo : uma de em cm e outra de em cm. A gente vai usar os conceitos de campo elétrico, que vêm da Lei de Coulomb, para resolver as partes (a) até (d). Vamos precisar calcular componentes vetoriais do campo, entender direções e sentidos, e também visualizar as linhas de campo elétrico. Preparado? Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a): determinar o módulo, direção e sentido do campo elétrico no ponto E = k Qr^2 r cm, encontrando as componentes do campo nesse ponto.
Vamos começar identificando as posições das cargas e do ponto onde queremos calcular o campo. As cargas estão no eixo nos pontos cm e cm. O ponto onde vamos calcular o campo está no eixo em cm, ou seja, nas coordenadas cm.
Para calcular o campo elétrico total no ponto, precisamos calcular o campo elétrico devido a cada carga individualmente e depois somá-los vetorialmente.
A fórmula do campo elétrico devido a uma carga pontual é dada por:
Onde:
  • (constante eletrostática)
  • é a carga
  • é a distância do ponto à carga
  • é o vetor unitário na direção de
Vamos calcular o campo devido a cada carga no ponto cm.

Passo 3

Vamos calcular o campo elétrico devido à carga r1 = raiz(0,02)^2 + (0,03)^2 = raiz0,0004 + 0,0009 = raiz0,0013 approx 0,0361 , m em E1 = k er1^2 = 8,99 times 10^9 times 1,6 times 10^-19(0,0361)^2 approx 8,99 times 10^9 times 1,6 times 10^-190,001303 approx 1,10 times 10^-6 , N/C cm.
Primeiro, convertemos tudo para metros:
E1x = E1 cdot 0,020,0361 approx 1,10 times 10^-6 times 0,554 approx 6,09 times 10^-7 , N/C m,
E1y = E1 cdot 0,030,0361 approx 1,10 times 10^-6 times 0,831 approx 9,14 times 10^-7 , N/C m.
A distância entre a carga e o ponto cm é:
O campo elétrico devido a é:
Agora, precisamos determinar as componentes e . A direção do campo é da carga positiva para o ponto.

Passo 4

Agora, vamos calcular o campo elétrico devido à carga E2 = k 4er2^2 = 8,99 times 10^9 times 4 times 1,6 times 10^-190,001303 approx 4,40 times 10^-6 , N/C em E2x = E2 cdot -0,020,0361 approx 4,40 times 10^-6 times (-0,554) approx -2,44 times 10^-6 , N/C cm.
A distância entre a carga E2y = E2 cdot 0,030,0361 approx 4,40 times 10^-6 times 0,831 approx 3,66 times 10^-6 , N/C e o ponto cm é a mesma que a anterior, m.
O campo elétrico devido a é:
Como a carga é negativa, a direção do campo é para a carga. Portanto, as componentes serão:

Passo 5

Agora, vamos somar as componentes dos campos elétricos de ambas as cargas para encontrar o campo total no ponto.
Somando as componentes Ex = E1x + E2x = 6,09 times 10^-7 + (-2,44 times 10^-6) = -1,83 times 10^-6 , N/C :
Ey = E1y + E2y = 9,14 times 10^-7 + 3,66 times 10^-6 = 4,57 times 10^-6 , N/C
Somando as componentes :

Passo 6

Agora que temos as componentes E = raizEx^2 + Ey^2 = raiz(-1,83 times 10^-6)^2 + (4,57 times 10^-6)^2 approx raiz3,35 times 10^-12 + 20,88 times 10^-12 approx raiz24,23 times 10^-12 approx 4,92 times 10^-6 , N/C e theta = arctan(EyEx) = arctan(4,57 times 10^-6-1,83 times 10^-6) approx arctan(-2,50) approx -68,2^circ , vamos calcular o módulo do campo elétrico total usando o teorema de Pitágoras:
Para encontrar a direção, calculamos o ângulo que o campo faz com o eixo :
Como é negativo e é positivo, o campo está no segundo quadrante, ou seja, acima do eixo e para a esquerda.

Passo 7

Então, resumindo a parte (a):
  • Componente :
  • Componente :
  • Módulo do campo elétrico:
  • Direção: acima do eixo
  • Sentido: Para a esquerda e para cima

Passo 8

Agora, vamos para a parte (b): localizar um ponto onde o campo elétrico é nulo e verificar se há mais de um desses pontos.
Para que o campo elétrico seja nulo, o campo devido à carga positiva deve ser igual em módulo, mas oposto em direção ao campo devido à carga negativa.
Vamos considerar um ponto ao longo do eixo k ed^2 = k 4e(4d)^2 Rightarrow 1d^2 = 416d^2 Rightarrow 1d^2 = 14d^2 onde o campo possa se cancelar. Supomos que esse ponto está entre as duas cargas.
Chamemos a distância desse ponto à carga k er^2 = k 4e(r + 4)^2 Rightarrow 1r^2 = 4(r + 4)^2 de (r + 4)^2 = 4r^2 .
A distância à carga r^2 + 8r + 16 = 4r^2 será 3r^2 - 8r - 16 = 0 , já que a carga negativa é r = 8 pm raiz64 + 1926 = 8 pm raiz2566 = 8 pm 166 .
Igualando os campos:
r = 246 = 4 , cm
Isso não é possível, indicando que não há ponto entre as cargas onde o campo é nulo. Vamos verificar fora desse intervalo.
Considerando um ponto à direita da carga , a distância à será , e à será (considerando que a distância entre as cargas é 4 cm).
Igualando os campos:
Resolvendo essa equação:
Resolvendo a equação quadrática:
Só a solução positiva faz sentido:
Portanto, o ponto está a 4 cm à direita da carga .

Passo 9

Concluindo a parte (b):
Há um único ponto onde o campo elétrico é nulo, localizado a 4 cm à direita da carga no eixo . Não há outros pontos de campo nulo nessa distribuição de cargas.

Passo 10

Finalmente, chegamos à parte (d): o que aconteceria se uma carga de ou for colocada no ponto cm.
Se colocarmos uma carga de nesse ponto:
  • A carga negativa interage com as cargas existentes.
  • A carga será atraída pela carga e repelida pela carga .
  • Isso pode alterar o campo elétrico local, possivelmente alterando a direção e o sentido das linhas de campo próximas.
Se colocarmos uma carga de nesse ponto:
  • A carga positiva interage com as cargas existentes.
  • A carga será repelida pela carga e atraída pela carga .
  • Novamente, isso modificaria o campo elétrico local, influenciando as direções das linhas de campo próximas.
Em ambos os casos, a presença da nova carga altera a distribuição do campo elétrico, mas não muda a localização do ponto onde o campo devido às duas cargas originais é nulo.

Resposta

Finalizamos a resolução:
(a) No ponto cm, as componentes do campo elétrico são e . O módulo do campo é , direcionado aproximadamente acima do eixo , para a esquerda e para cima.
(b) Há um único ponto onde o campo elétrico é nulo, localizado a 4 cm à direita da carga no eixo .
© [Não solicitado na resolução acima.]
(d) Colocar uma carga de no ponto cm atrai o campo e altera sua direção local. Colocar uma carga de repele o campo e também modifica a direção das linhas de campo próximas. A presença da nova carga afeta a distribuição do campo elétrico na região.

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