Duas esferas fixas atraem-se mutuamente com uma força de
quando a distância entre os centros é
. As esferas são ligadas por um fio condutor de diâmetro desprezível. Quando o fio é removido, as esferas se repelem com uma força de
. Supondo que a carga total das esferas era inicialmente positiva, determine: (a) a carga negativa inicial de uma das esferas; (b) a carga positiva inicial da outra esfera. © O campo elétrico que atua nas esferas para as duas situações anteriores.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas esferas que inicialmente têm carga positiva total. Quando estão conectadas por um fio, elas se atraem com uma força de
a uma distância de
. Depois que a gente remove o fio, elas passam a se repelir com uma força de
. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Coulomb para calcular as forças entre as cargas e entender como as cargas se distribuem quando estão conectadas e quando não estão mais ligadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Coulomb, que nos diz que a força elétrica entre duas cargas é dada por:
Onde:
- $ F $ é a força entre as cargas,
- $ k_e $ é a constante eletrostática (
), - $ q_1 $ e $ q_2 $ são as cargas,
- $ r $ é a distância entre elas.
Passo 3
Quando as esferas estão conectadas pelo fio condutor, elas compartilham a carga total. Como a força é de atração (
), isso significa que uma esfera tem carga positiva e a outra negativa. Vamos chamar a carga negativa de uma esfera de $ -q $ e a positiva da outra de $ +q $.
Passo 4
Agora, aplicamos a Lei de Coulomb para a situação com o fio conectado:
Aqui, $ r = 50, \mathrm{cm} = 0,5, \mathrm{m} $.
Passo 5
Vamos resolver para $ q $:
Passo 6
Então, a carga negativa em uma das esferas é aproximadamente $ -1,734 \times 10^{-6}, \mathrm{C} $. Essa é a resposta para a parte (a).
Passo 7
Para a parte (b), inicialmente, a carga total das duas esferas era positiva. Se uma esfera tem $ -1,734 \times 10^{-6}, \mathrm{C} $, a outra deve ter uma carga positiva maior para que o total seja positivo. Vamos chamar a carga positiva de $ +Q $.
Sabemos que a carga total $ Q_{total} = Q - q $. Mas como inicialmente a carga total era positiva e está conectada, $ Q_{total} $ seria igual a $ +1,734 \times 10^{-6}, \mathrm{C} $.
Assumindo que a carga total inicialmente era $ Q $, e após a redistribuição ficou $ Q/2 $ em cada esfera:
Portanto, a carga positiva inicial na outra esfera é $ +3,468 \times 10^{-6}, \mathrm{C} $.
Passo 8
Agora, para a parte ©, precisamos calcular o campo elétrico nas duas situações.
A fórmula do campo elétrico é:
Para a situação com o fio conectado (atração):
Para a situação com o fio removido (repulsão):
A força agora é de repulsão
, e ambas as cargas são positivas. Usando novamente a Lei de Coulomb:
Resolvendo para $ Q $:
Então, o campo elétrico nessa situação é:
Resposta
(a) A carga negativa inicial de uma das esferas é aproximadamente $ -1,734 \times 10^{-6}, \mathrm{C} $.
(b) A carga positiva inicial da outra esfera é aproximadamente $ +3,468 \times 10^{-6}, \mathrm{C} $.
© O campo elétrico que atua nas esferas:
- Com o fio conectado (atração): $ E \approx 6,22 \times 10^{4}, \mathrm{N/C} $
- Com o fio removido (repulsão): $ E \approx 3,59 \times 10^{4}, \mathrm{N/C} $