Duas esferas fixas atraem-se mutuamente com uma força de 0,108 N quando a distância entre os centros é 50,0 cm. As esferas são ligadas por um fio condutor de diâmetro desprezível. Quando o fio é removido, as esferas se repelem com uma força de 0,0360 N. Supondo que a carga total das esferas era inicialmente positiva, determine: (a) a carga negativa inicial de uma das esferas; (b) a carga positiva inicial da outra esfera. © O campo elétrico que atua nas esferas para as duas situações anteriores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas esferas que inicialmente têm carga positiva total. Quando estão conectadas por um fio, elas se atraem com uma força de 0,108, N a uma distância de 50,0, cm. Depois que a gente remove o fio, elas passam a se repelir com uma força de 0,0360, N. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Coulomb para calcular as forças entre as cargas e entender como as cargas se distribuem quando estão conectadas e quando não estão mais ligadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Coulomb, que nos diz que a força elétrica entre duas cargas é dada por:
F = ke |q1 q2|r^2
Onde:
  • $ F $ é a força entre as cargas,
  • $ k_e $ é a constante eletrostática ( F ),
  • $ q_1 $ e $ q_2 $ são as cargas,
  • $ r $ é a distância entre elas.

Passo 3

Quando as esferas estão conectadas pelo fio condutor, elas compartilham a carga total. Como a força é de atração ( 0,108, N), isso significa que uma esfera tem carga positiva e a outra negativa. Vamos chamar a carga negativa de uma esfera de $ -q $ e a positiva da outra de $ +q $.

Passo 4

Agora, aplicamos a Lei de Coulomb para a situação com o fio conectado:
0,108 = ke q cdot q(0,5)^2
Aqui, $ r = 50, \mathrm{cm} = 0,5, \mathrm{m} $.

Passo 5

Vamos resolver para $ q $:
q
0,108 = 8,988 times 10^9 q^20,25
q^2 = 0,108 times 0,258,988 times 10^9
q^2 = 0,0278,988 times 10^9
q^2 approx 3,007 times 10^-12, C^2

Passo 6

Então, a carga negativa em uma das esferas é aproximadamente $ -1,734 \times 10^{-6}, \mathrm{C} $. Essa é a resposta para a parte (a).

Passo 7

Para a parte (b), inicialmente, a carga total das duas esferas era positiva. Se uma esfera tem $ -1,734 \times 10^{-6}, \mathrm{C} $, a outra deve ter uma carga positiva maior para que o total seja positivo. Vamos chamar a carga positiva de $ +Q $.
Sabemos que a carga total $ Q_{total} = Q - q $. Mas como inicialmente a carga total era positiva e está conectada, $ Q_{total} $ seria igual a $ +1,734 \times 10^{-6}, \mathrm{C} $.
-1,734 times 10^-6, C
Assumindo que a carga total inicialmente era $ Q $, e após a redistribuição ficou $ Q/2 $ em cada esfera:
+Q
Portanto, a carga positiva inicial na outra esfera é $ +3,468 \times 10^{-6}, \mathrm{C} $.

Passo 8

Agora, para a parte ©, precisamos calcular o campo elétrico nas duas situações.
A fórmula do campo elétrico é:
E = ke qr^2
Para a situação com o fio conectado (atração):
E = 8,988 times 10^9 1,734 times 10^-60,25 approx 6,22 times 10^4, N/C
Para a situação com o fio removido (repulsão):
A força agora é de repulsão 0,0360, N, e ambas as cargas são positivas. Usando novamente a Lei de Coulomb:
0,0360 = 8,988 times 10^9 Q^20,25
Resolvendo para $ Q $:
Q
Q^2 = 0,0360 times 0,258,988 times 10^9 approx 1,002 times 10^-12, C^2
Então, o campo elétrico nessa situação é:
Q approx raiz1,002 times 10^-12 approx 1,001 times 10^-6, C

Resposta

(a) A carga negativa inicial de uma das esferas é aproximadamente $ -1,734 \times 10^{-6}, \mathrm{C} $.
(b) A carga positiva inicial da outra esfera é aproximadamente $ +3,468 \times 10^{-6}, \mathrm{C} $.
© O campo elétrico que atua nas esferas:
  • Com o fio conectado (atração): $ E \approx 6,22 \times 10^{4}, \mathrm{N/C} $
  • Com o fio removido (repulsão): $ E \approx 3,59 \times 10^{4}, \mathrm{N/C} $

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