Calcule o módulo da força total agindo sobre a parede de profundidade
e comprimento
de uma piscina cheia de água. Para qual profundidade a força devido a água é igual à força devida à atmosfera?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a força total que a água exerce na parede de uma piscina com profundidade $ H $ e comprimento $ L $. Além disso, queremos descobrir qual profundidade faz com que essa força da água seja igual à força exercida pela atmosfera. Para isso, vamos usar conceitos de pressão e força em fluidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a pressão da água varia com a profundidade. A pressão em um ponto na água depende da profundidade $ y $ nesse ponto e é dada pela fórmula:
onde:
- $ \rho $ é a densidade da água (aproximadamente $ 1000 , kg/m^3 $),
- $ g $ é a aceleração da gravidade ($ 9,8 , m/s^2 $),
- $ y $ é a profundidade.
Passo 3
Para encontrar a força total que a água exerce na parede, precisamos integrar essa pressão sobre toda a área da parede. A área infinitesimal $ dA $ de um pedaço da parede com altura $ dy $ e comprimento $ L $ é:
Então, a força infinitesimal $ dF $ é:
Passo 4
Agora, vamos integrar essa expressão desde a superfície ($ y = 0 $) até a profundidade total $ H $ para encontrar a força total da água:
Resolvendo a integral:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular a força exercida pela atmosfera na mesma área da parede. A pressão atmosférica $ p_{atm} $ é constante e a força é simplesmente:
onde $ A = L \cdot H $ é a área da parede.
Passo 6
Queremos saber para qual profundidade $ h $ a força da água iguala a força da atmosfera. Igualando as duas expressões:
Podemos simplificar cancelando $ L $ e $ h $ (desde que $ h \neq 0 $):
Resolvendo para $ h $:
Resposta
A profundidade $ h $ na qual a força da água iguala a força da atmosfera é: