Calcule o módulo da força total agindo sobre a parede de profundidade H e comprimento L de uma piscina cheia de água. Para qual profundidade a força devido a água é igual à força devida à atmosfera?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a força total que a água exerce na parede de uma piscina com profundidade $ H $ e comprimento $ L $. Além disso, queremos descobrir qual profundidade faz com que essa força da água seja igual à força exercida pela atmosfera. Para isso, vamos usar conceitos de pressão e força em fluidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a pressão da água varia com a profundidade. A pressão em um ponto na água depende da profundidade $ y $ nesse ponto e é dada pela fórmula:
y
onde:
  • $ \rho $ é a densidade da água (aproximadamente $ 1000 , kg/m^3 $),
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ($ 9,8 , m/s^2 $),
  • $ y $ é a profundidade.

Passo 3

Para encontrar a força total que a água exerce na parede, precisamos integrar essa pressão sobre toda a área da parede. A área infinitesimal $ dA $ de um pedaço da parede com altura $ dy $ e comprimento $ L $ é:
dA
Então, a força infinitesimal $ dF $ é:
dy

Passo 4

Agora, vamos integrar essa expressão desde a superfície ($ y = 0 $) até a profundidade total $ H $ para encontrar a força total da água:
y = 0 á
Resolvendo a integral:
H
Então:
Fágua = integral0^H rho cdot g cdot y cdot L cdot dy = rho cdot g cdot L integral0^H y , dy á

Passo 5

Agora, vamos calcular a força exercida pela atmosfera na mesma área da parede. A pressão atmosférica $ p_{atm} $ é constante e a força é simplesmente:
patm
onde $ A = L \cdot H $ é a área da parede.

Passo 6

Queremos saber para qual profundidade $ h $ a força da água iguala a força da atmosfera. Igualando as duas expressões:
h
Podemos simplificar cancelando $ L $ e $ h $ (desde que $ h \neq 0 $):
rho cdot g cdot L cdot h^22 = patm cdot L cdot h
Resolvendo para $ h $:
L

Resposta

A profundidade $ h $ na qual a força da água iguala a força da atmosfera é:
h

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