As duas extremidades de uma haste de cobre em formato de U , com de diâmetro, estão rigidamente fixadas em uma parede vertical. A temperatura da parede é mantida a . O comprimento estendido da haste é e ela está exposta ao ar a . O coeficiente combinado de transferência de calor por radiação e convecção é de . a)Calcule a temperatura do ponto médio haste. b) qual será a taxa de transferência de calor a partir da haste?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma haste de cobre em formato de U com diâmetro de e comprimento total estendido de . As extremidades estão fixas a uma parede a , e a haste está exposta ao ar a . Além disso, o coeficiente combinado de transferência de calor por radiação e convecção é de . Precisamos calcular:
a) A temperatura no ponto médio da haste.
b) A taxa de transferência de calor a partir da haste.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre condução de calor e transferência de calor por convecção e radiação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área superficial da haste para usar na transferência de calor. A haste é em formato de U, então temos duas seções verticais e uma horizontal. Mas como o comprimento total é , cada seção vertical terá .
O diâmetro é , o que nos ajuda a encontrar o raio:
A área superficial de um cilindro é dada por:
Onde é a altura de cada segmento.

Passo 3

Calculando a área superficial de cada segmento vertical:
Como temos duas seções verticais, a área total das verticais é:
Agora, a área da parte horizontal:
Mas como a haste é em formato de U, a parte horizontal pode ser negligenciada para a transferência de calor.

Passo 4

Agora, para encontrar a temperatura no ponto médio, consideramos que a temperatura varia ao longo da haste devido à perda de calor para o ambiente. Vamos usar a equação de condução de calor:
Isso implica que a temperatura varia linearmente ao longo da haste.
Como as extremidades estão a e o ponto médio está equidistante delas, a temperatura no meio será a média das temperaturas das extremidades e da temperatura ambiente.
Mas para uma solução mais precisa, consideramos o equilíbrio entre condução e dissipação de calor.

Passo 5

Utilizando a lei de Fourier para condução de calor e igualando à taxa de dissipação por convecção e radiação, temos:
Onde:
  • é a condutividade térmica do cobre ( )
  • é a área superficial
  • é o coeficiente de transferência de calor ( )
  • é a temperatura ambiente ( )

Passo 6

Resolvendo para a temperatura no ponto médio, integrando as equações e aplicando as condições de contorno, encontramos que a temperatura no meio da haste é:
Substituindo os valores:

Resposta

a) A temperatura no ponto médio da haste é aproximadamente .
b) A taxa de transferência de calor a partir da haste é .

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