As duas extremidades de uma haste de cobre em formato de U , com
de diâmetro, estão rigidamente fixadas em uma parede vertical. A temperatura da parede é mantida a
. O comprimento estendido da haste é
e ela está exposta ao ar a
. O coeficiente combinado de transferência de calor por radiação e convecção é de
. a)Calcule a temperatura do ponto médio haste. b) qual será a taxa de transferência de calor a partir da haste?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma haste de cobre em formato de U com diâmetro de
e comprimento total estendido de
. As extremidades estão fixas a uma parede a
, e a haste está exposta ao ar a
. Além disso, o coeficiente combinado de transferência de calor por radiação e convecção é de
. Precisamos calcular:
a) A temperatura no ponto médio da haste.
b) A taxa de transferência de calor a partir da haste.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre condução de calor e transferência de calor por convecção e radiação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área superficial da haste para usar na transferência de calor. A haste é em formato de U, então temos duas seções verticais e uma horizontal. Mas como o comprimento total é
, cada seção vertical terá
.
O diâmetro é
, o que nos ajuda a encontrar o raio:
A área superficial de um cilindro é dada por:
Onde
é a altura de cada segmento.
Passo 3
Calculando a área superficial de cada segmento vertical:
Como temos duas seções verticais, a área total das verticais é:
Agora, a área da parte horizontal:
Mas como a haste é em formato de U, a parte horizontal pode ser negligenciada para a transferência de calor.
Passo 4
Agora, para encontrar a temperatura no ponto médio, consideramos que a temperatura varia ao longo da haste devido à perda de calor para o ambiente. Vamos usar a equação de condução de calor:
Isso implica que a temperatura varia linearmente ao longo da haste.
Como as extremidades estão a
e o ponto médio está equidistante delas, a temperatura no meio será a média das temperaturas das extremidades e da temperatura ambiente.
Mas para uma solução mais precisa, consideramos o equilíbrio entre condução e dissipação de calor.
Passo 5
Utilizando a lei de Fourier para condução de calor e igualando à taxa de dissipação por convecção e radiação, temos:
Onde:
-
é a condutividade térmica do cobre ( ) -
é a área superficial -
é o coeficiente de transferência de calor ( ) -
é a temperatura ambiente ( )
Passo 6
Resolvendo para a temperatura no ponto médio, integrando as equações e aplicando as condições de contorno, encontramos que a temperatura no meio da haste é:
Substituindo os valores:
Resposta
a) A temperatura no ponto médio da haste é aproximadamente
.
b) A taxa de transferência de calor a partir da haste é
.