As duas extremidades de uma haste de cobre em formato de U , com 0,6 cm de diâmetro, estão rigidamente fixadas em uma parede vertical. A temperatura da parede é mantida a 93^circ C. O comprimento estendido da haste é 0,6 m e ela está exposta ao ar a 38^circ C. O coeficiente combinado de transferência de calor por radiação e convecção é de 34 W / m 2 K. a)Calcule a temperatura do ponto médio haste. b) qual será a taxa de transferência de calor a partir da haste?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma haste de cobre em formato de U com diâmetro de e comprimento total estendido de . As extremidades estão fixas a uma parede a , e a haste está exposta ao ar a . Além disso, o coeficiente combinado de transferência de calor por radiação e convecção é de . Precisamos calcular:
a) A temperatura no ponto médio da haste.
b) A taxa de transferência de calor a partir da haste.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre condução de calor e transferência de calor por convecção e radiação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área superficial da haste para usar na transferência de calor. A haste é em formato de U, então temos duas seções verticais e uma horizontal. Mas como o comprimento total é r = 0,62 = 0,3, cm = 0,003, m , cada seção vertical terá A = 2pi r h .
O diâmetro é , o que nos ajuda a encontrar o raio:
A área superficial de um cilindro é dada por:
Onde é a altura de cada segmento.

Passo 3

Calculando a área superficial de cada segmento vertical:
Avertical = 2pi times 0,003, m times 0,3, m = 0,005655, m^2
Como temos duas seções verticais, a área total das verticais é:
Averticais = 2 times 0,005655, m^2 = 0,01131, m^2
Agora, a área da parte horizontal:
Mas como a haste é em formato de U, a parte horizontal pode ser negligenciada para a transferência de calor.

Passo 4

Agora, para encontrar a temperatura no ponto médio, consideramos que a temperatura varia ao longo da haste devido à perda de calor para o ambiente. Vamos usar a equação de condução de calor:
d^2 Tdx^2 = 0
Isso implica que a temperatura varia linearmente ao longo da haste.
Como as extremidades estão a e o ponto médio está equidistante delas, a temperatura no meio será a média das temperaturas das extremidades e da temperatura ambiente.
Mas para uma solução mais precisa, consideramos o equilíbrio entre condução e dissipação de calor.

Passo 5

Utilizando a lei de Fourier para condução de calor e igualando à taxa de dissipação por convecção e radiação, temos:
dQdx = -k A dTdx = h As (T - Tamb)
Onde:
  • é a condutividade térmica do cobre ( )
  • é a área superficial
  • é o coeficiente de transferência de calor ( )
  • é a temperatura ambiente ( )

Passo 6

Resolvendo para a temperatura no ponto médio, integrando as equações e aplicando as condições de contorno, encontramos que a temperatura no meio da haste é:
Tmeio = Tparede - h L2k
Substituindo os valores:
Tmeio = 93 - 34 times 0,62 times 400 = 93 - 20,4800 = 93 - 0,0255 approx 92,97^circC

Resposta

a) A temperatura no ponto médio da haste é aproximadamente .
b) A taxa de transferência de calor a partir da haste é .

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