Em um elemento combustível cilíndrico, de um reator nuclear resfriado a gás, a taxa de geração de calor dentro do elemento combustível, devido à fissão, pode ser representada para relação

Onde b é o raio do elemento combustível e g0 é constante. A superfície em r = b é mantida a uma temperatura uniforme T0.
Admitindo fluxo de calor unidimensional, estacionário, desenvolva a equação da queda de temperatura entre o eixo e a superfície do elemento combustível.
Com o raio , condutividade térmica e , calcule a queda de temperatura entre o eixo e a superfície.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um elemento combustível cilíndrico num reator nuclear que gera calor por fissão. A taxa de geração de calor depende da posição radial dentro do cilindro. Queremos descobrir como a temperatura varia do centro (eixo) até a superfície desse cilindro. Para isso, vamos usar conceitos de condução de calor em coordenadas cilíndricas e resolver uma equação diferencial que descreve essa variação de temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a expressão da taxa de geração de calor:
Aqui, é uma constante, é a distância radial do eixo, e é o raio do cilindro.

Passo 3

Como o fluxo de calor é unidimensional e estacionário, usamos a equação de condução de calor com geração interna em coordenadas cilíndricas:
Onde é a temperatura e é a condutividade térmica.

Passo 4

Substituindo na equação:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação por para simplificar:

Passo 6

Integrando a equação em relação a :
Vamos calcular a integral:

Passo 7

Substituindo de volta:

Passo 8

Dividindo ambos os lados por :

Passo 9

Integrando novamente para encontrar :
Onde é outra constante de integração.

Passo 10

Aplicamos as condições de contorno para encontrar as constantes e . Sabemos que na superf��cie , a temperatura é :
Simplificando:

Passo 11

No centro do cilindro , a temperatura deve ser máxima e a derivada de em relação a deve ser zero (simetria):
Da equação do passo 8:
Para evitar que seja infinito, deve ser zero.

Passo 12

Com , a equação do passo 10 fica:
Isolando :

Passo 13

Agora, substituímos na equação de :

Passo 14

Simplificando a expressão:

Passo 15

A queda de temperatura entre o eixo ( ) e a superfície ( ) é:
Calculando :
Então:

Resposta

A queda de temperatura entre o eixo e a superfície do elemento combustível é:
Substituindo os valores dados:
Portanto, a queda de temperatura é de 400°C.

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