Em um elemento combustível cilíndrico, de um reator nuclear resfriado a gás, a taxa de geração de calor dentro do elemento combustível, devido à fissão, pode ser representada para relação
g(r)=g0[1-(rb)^2]
Onde b é o raio do elemento combustível e g0 é constante. A superfície em r = b é mantida a uma temperatura uniforme T0.
Admitindo fluxo de calor unidimensional, estacionário, desenvolva a equação da queda de temperatura entre o eixo e a superfície do elemento combustível.
Com o raio b=2 cm, condutividade térmica k=10 W /(m ^circ C) e g 0=4 times 107 W / m 3, calcule a queda de temperatura entre o eixo e a superfície.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um elemento combustível cilíndrico num reator nuclear que gera calor por fissão. A taxa de geração de calor depende da posição radial dentro do cilindro. Queremos descobrir como a temperatura varia do centro (eixo) até a superfície desse cilindro. Para isso, vamos usar conceitos de condução de calor em coordenadas cilíndricas e resolver uma equação diferencial que descreve essa variação de temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a expressão da taxa de geração de calor:
g(r) = g0[1 - (rb)^2]
Aqui, é uma constante, é a distância radial do eixo, e é o raio do cilindro.

Passo 3

Como o fluxo de calor é unidimensional e estacionário, usamos a equação de condução de calor com geração interna em coordenadas cilíndricas:
1r ddr(r dTdr) + g(r)k = 0
Onde é a temperatura e é a condutividade térmica.

Passo 4

Substituindo 1r ddr(r dTdr) + g0k[1 - (rb)^2] = 0 na equação:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação por ddr(r dTdr) + g0 rk[1 - (rb)^2] = 0 para simplificar:

Passo 6

Integrando a equação em relação a r dTdr = -integral g0 rk[1 - (rb)^2] dr + C :
integral r [1 - (rb)^2] dr = integral r dr - 1b^2 integral r^3 dr = r^22 - r^44b^2 + C
Vamos calcular a integral:

Passo 7

Substituindo de volta:
r dTdr = -g0k ( r^22 - r^44b^2 ) + C

Passo 8

Dividindo ambos os lados por dTdr = -g0k ( r2 - r^34b^2 ) + Cr :

Passo 9

Integrando novamente para encontrar T(r) = -g0k ( r^24 - r^416b^2 ) + C ln r + D :
Onde é outra constante de integração.

Passo 10

Aplicamos as condições de contorno para encontrar as constantes T(b) = T0 = -g0k ( b^24 - b^416b^2 ) + C ln b + D e T0 = -g0b^24k + C ln b + D . Sabemos que na superf��cie , a temperatura é :
Simplificando:

Passo 11

No centro do cilindro dTdr |r=0 = 0 , a temperatura deve ser máxima e a derivada de 0 = -g0k ( 0 - 0 ) + C0 em relação a deve ser zero (simetria):
Da equação do passo 8:
Para evitar que seja infinito, deve ser zero.

Passo 12

Com T0 = -g0b^24k + D , a equação do passo 10 fica:
D = T0 + g0b^24k
Isolando :

Passo 13

Agora, substituímos T(r) = -g0k ( r^24 - r^416b^2 ) + T0 + g0b^24k na equação de :

Passo 14

Simplificando a expressão:
T(r) = T0 + g0k ( b^24 - r^24 + r^416b^2 )

Passo 15

A queda de temperatura entre o eixo ( De) e a superfície ( T(0) = T0 + g0k ( b^24 - 0 + 0 ) = T0 + g0b^24k ) é:
De
Calculando :
Então:

Resposta

A queda de temperatura entre o eixo e a superfície do elemento combustível é:
De
Substituindo os valores dados:
De
Portanto, a queda de temperatura é de 400°C.

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