Em um elemento combustível cilíndrico, de um reator nuclear resfriado a gás, a taxa de geração de calor dentro do elemento combustível, devido à fissão, pode ser representada para relação
Onde b é o raio do elemento combustível e g0 é constante. A superfície em r = b é mantida a uma temperatura uniforme T0.
Admitindo fluxo de calor unidimensional, estacionário, desenvolva a equação da queda de temperatura entre o eixo e a superfície do elemento combustível.
Com o raio , condutividade térmica e , calcule a queda de temperatura entre o eixo e a superfície.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um elemento combustível cilíndrico num reator nuclear que gera calor por fissão. A taxa de geração de calor depende da posição radial dentro do cilindro. Queremos descobrir como a temperatura varia do centro (eixo) até a superfície desse cilindro. Para isso, vamos usar conceitos de condução de calor em coordenadas cilíndricas e resolver uma equação diferencial que descreve essa variação de temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a expressão da taxa de geração de calor:
Aqui, é uma constante, é a distância radial do eixo, e é o raio do cilindro.
Passo 3
Como o fluxo de calor é unidimensional e estacionário, usamos a equação de condução de calor com geração interna em coordenadas cilíndricas:
Onde é a temperatura e é a condutividade térmica.
Passo 4
Substituindo na equação:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação por para simplificar:
Passo 6
Integrando a equação em relação a :
Vamos calcular a integral:
Passo 7
Substituindo de volta:
Passo 8
Dividindo ambos os lados por :
Passo 9
Integrando novamente para encontrar :
Onde é outra constante de integração.
Passo 10
Aplicamos as condições de contorno para encontrar as constantes e . Sabemos que na superf��cie , a temperatura é :
Simplificando:
Passo 11
No centro do cilindro , a temperatura deve ser máxima e a derivada de em relação a deve ser zero (simetria):
Da equação do passo 8:
Para evitar que seja infinito, deve ser zero.
Passo 12
Com , a equação do passo 10 fica:
Isolando :
Passo 13
Agora, substituímos na equação de :
Passo 14
Simplificando a expressão:
Passo 15
A queda de temperatura entre o eixo () e a superfície () é:
Calculando :
Então:
Resposta
A queda de temperatura entre o eixo e a superfície do elemento combustível é: