Em uma haste cilíndrica de combustível de um reator nuclear, é gerado internamente calor de acordo com a equação
dotqG=dotq1[1-(rr0)^2]
dotqG taxa local de geração de calor por unidade de volume em r .
r0 raio externo.
dotq1 taxa de geração de calor por unidade de volume na linha central.
Calcule a queda de temperatura a partir da linha central até a superfície para uma haste de 1 polegadas de diâmetro, com condutividade térmica de 15 BTU/h.ft. ^circ F, se a taxa de remoção de calor a partir de sua superfície for 500.000 BTU / h ft^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma haste cilíndrica que está gerando calor internamente, e queremos descobrir qual é a diferença de temperatura entre o centro da haste e a sua superfície. Para isso, vamos usar conceitos de condução de calor em cilindros com geração interna de calor. Precisamos entender a equação dada para a geração de calor, usar a condutividade térmica fornecida e a taxa de remoção de calor na superfície para achar a variação de temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todos os dados que temos:
  • Diâmetro da haste: 1 polegada, então o raio externo dotqG = dotq1[1 - (rr0)^2] polegada.
  • Condutividade térmica BTU/h·ft·°F.
  • Taxa de remoção de calor na superfície BTU/h·ft².
  • Equação da taxa de geração de calor:

Passo 3

Vamos converter as unidades para que fiquem consistentes. Como a taxa de remoção de calor está em BTU/h·ft², é conveniente trabalhar com o raio em pés:
  • polegada = pés.

Passo 4

Agora, vamos usar a equação de condução de calor para um cilindro com geração interna de calor. A equação geral em coordenadas cilíndricas para estado estacionário é:
1r ddr(r dTdr) + dotqGk = 0
Onde:
  • é a temperatura em função de .
  • é a condutividade térmica.

Passo 5

Substituindo a expressão para 1r ddr(r dTdr) + dotq1[1 - (rr0)^2]k = 0 na equação:
Vamos simplificar isso para facilitar a integração.

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por ddr(r dTdr) + dotq1 r [1 - (rr0)^2]k = 0 para eliminar o denominador:
Agora, vamos integrar essa equação em relação a .

Passo 7

Integrando ambos os lados:
r dTdr = -dotq1k integral r [1 - (rr0)^2] dr + C1
Onde integral r [1 - (rr0)^2] dr = integral r dr - 1r0^2 integral r^3 dr = r^22 - r^44 r0^2 é a constante de integração. Vamos resolver a integral:

Passo 8

Substituindo a integral de volta na equação:
r dTdr = -dotq1k (r^22 - r^44 r0^2) + C1
Agora, vamos dividir ambos os lados por dTdr = -dotq1k (r2 - r^34 r0^2) + C1r para isolar :

Passo 9

Integrando novamente em relação a T(r) = -dotq1k (r^24 - r^416 r0^2) + C1 ln r + C2 :
Onde é outra constante de integração. Agora, precisamos aplicar as condições de contorno para encontrar e .

Passo 10

As condições de contorno são:
  1. Na superfície ( ), a taxa de remoção de calor é dada por .
  2. A temperatura deve ser finita no centro ( ), o que implica que porque não é definido.
Então, .

Passo 11

Com T(r) = -dotq1k (r^24 - r^416 r0^2) + C2 , a expressão para q'' = -k dTdr|r = r0 simplifica para:
dTdr = -dotq1k (r2 - r^34 r0^2)
Agora, aplicamos a primeira condição de contorno na derivada da temperatura:
dTdr|r = r0 = -dotq1k (r02 - r0^34 r0^2) = -dotq1k (r02 - r04) = -dotq1 r04 k
Calculando q'' = -k (-dotq1 r04 k) = dotq1 r04 :
dotq1 = 4 q''r0
Avaliando em :
Então:
Dessa forma, podemos resolver para :

Passo 12

Agora que temos Tcentro = -dotq1k (0 - 0) + C2 = C2 , podemos voltar à expressão da temperatura e encontrar a diferença de temperatura entre o centro e a superfície.
A temperatura no centro ( Tsuperfície = -dotq1k (r0^24 - r0^416 r0^2) + C2 = -dotq1k (r0^24 - r0^216) + C2 = -dotq1 r0^25.33 k + C2 ):
De
A temperatura na superfície ( ):
í
A diferença de temperatura í:

Passo 13

Vamos agora substituir dotq1 = 4 q''r0 pela expressão encontrada e os valores numéricos:
Primeiro, calculamos dotq1 = 4 times 500.000124 = 4 times 500.000 times 24 = 48.000.000 BTU/h·ft³ :
Mas temos que BTU/h·ft² e pés.
Então:
³

Passo 14

Agora, substituímos De e De na expressão para :
Calculando passo a passo:
  • ft².
  • Numerador: BTU/h·ft·°F.
  • Denominador: .
Então:

Resposta

A queda de temperatura do centro até a superfície da haste é aproximadamente .

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