Em uma haste cilíndrica de combustível de um reator nuclear, é gerado internamente calor de acordo com a equação
taxa local de geração de calor por unidade de volume em r .
raio externo.
taxa de geração de calor por unidade de volume na linha central.
Calcule a queda de temperatura a partir da linha central até a superfície para uma haste de 1 polegadas de diâmetro, com condutividade térmica de 15 BTU/h.ft. , se a taxa de remoção de calor a partir de sua superfície for

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma haste cilíndrica que está gerando calor internamente, e queremos descobrir qual é a diferença de temperatura entre o centro da haste e a sua superfície. Para isso, vamos usar conceitos de condução de calor em cilindros com geração interna de calor. Precisamos entender a equação dada para a geração de calor, usar a condutividade térmica fornecida e a taxa de remoção de calor na superfície para achar a variação de temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todos os dados que temos:
  • Diâmetro da haste: 1 polegada, então o raio externo polegada.
  • Condutividade térmica BTU/h·ft·°F.
  • Taxa de remoção de calor na superfície BTU/h·ft².
  • Equação da taxa de geração de calor:

Passo 3

Vamos converter as unidades para que fiquem consistentes. Como a taxa de remoção de calor está em BTU/h·ft², é conveniente trabalhar com o raio em pés:
  • polegada = pés.

Passo 4

Agora, vamos usar a equação de condução de calor para um cilindro com geração interna de calor. A equação geral em coordenadas cilíndricas para estado estacionário é:
Onde:
  • é a temperatura em função de .
  • é a condutividade térmica.

Passo 5

Substituindo a expressão para na equação:
Vamos simplificar isso para facilitar a integração.

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Agora, vamos integrar essa equação em relação a .

Passo 7

Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Vamos resolver a integral:

Passo 8

Substituindo a integral de volta na equação:
Agora, vamos dividir ambos os lados por para isolar :

Passo 9

Integrando novamente em relação a :
Onde é outra constante de integração. Agora, precisamos aplicar as condições de contorno para encontrar e .

Passo 10

As condições de contorno são:
  1. Na superfície ( ), a taxa de remoção de calor é dada por .
  2. A temperatura deve ser finita no centro ( ), o que implica que porque não é definido.
Então, .

Passo 11

Com , a expressão para simplifica para:
Agora, aplicamos a primeira condição de contorno na derivada da temperatura:
Calculando :
Avaliando em :
Então:
Dessa forma, podemos resolver para :

Passo 12

Agora que temos , podemos voltar à expressão da temperatura e encontrar a diferença de temperatura entre o centro e a superfície.
A temperatura no centro ( ):
A temperatura na superfície ( ):
í
A diferença de temperatura í:

Passo 13

Vamos agora substituir pela expressão encontrada e os valores numéricos:
Primeiro, calculamos :
Mas temos que BTU/h·ft² e pés.
Então:
³

Passo 14

Agora, substituímos e na expressão para :
Calculando passo a passo:
  • ft².
  • Numerador: BTU/h·ft·°F.
  • Denominador: .
Então:

Resposta

A queda de temperatura do centro até a superfície da haste é aproximadamente .

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