Em uma haste cilíndrica de combustível de um reator nuclear, é gerado internamente calor de acordo com a equação
taxa local de geração de calor por unidade de volume em r . raio externo. taxa de geração de calor por unidade de volume na linha central.
Calcule a queda de temperatura a partir da linha central até a superfície para uma haste de 1 polegadas de diâmetro, com condutividade térmica de 15 BTU/h.ft. , se a taxa de remoção de calor a partir de sua superfície for
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma haste cilíndrica que está gerando calor internamente, e queremos descobrir qual é a diferença de temperatura entre o centro da haste e a sua superfície. Para isso, vamos usar conceitos de condução de calor em cilindros com geração interna de calor. Precisamos entender a equação dada para a geração de calor, usar a condutividade térmica fornecida e a taxa de remoção de calor na superfície para achar a variação de temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todos os dados que temos:
Diâmetro da haste: 1 polegada, então o raio externo polegada.
Condutividade térmica BTU/h·ft·°F.
Taxa de remoção de calor na superfície BTU/h·ft².
Equação da taxa de geração de calor:
Passo 3
Vamos converter as unidades para que fiquem consistentes. Como a taxa de remoção de calor está em BTU/h·ft², é conveniente trabalhar com o raio em pés:
polegada = pés.
Passo 4
Agora, vamos usar a equação de condução de calor para um cilindro com geração interna de calor. A equação geral em coordenadas cilíndricas para estado estacionário é:
Onde:
é a temperatura em função de .
é a condutividade térmica.
Passo 5
Substituindo a expressão para na equação:
Vamos simplificar isso para facilitar a integração.
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Agora, vamos integrar essa equação em relação a .
Passo 7
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Vamos resolver a integral:
Passo 8
Substituindo a integral de volta na equação:
Agora, vamos dividir ambos os lados por para isolar :
Passo 9
Integrando novamente em relação a :
Onde é outra constante de integração. Agora, precisamos aplicar as condições de contorno para encontrar e .
Passo 10
As condições de contorno são:
Na superfície (), a taxa de remoção de calor é dada por .
A temperatura deve ser finita no centro (), o que implica que porque não é definido.
Então, .
Passo 11
Com , a expressão para simplifica para:
Agora, aplicamos a primeira condição de contorno na derivada da temperatura:
Calculando :
Avaliando em :
Então:
Dessa forma, podemos resolver para :
Passo 12
Agora que temos , podemos voltar à expressão da temperatura e encontrar a diferença de temperatura entre o centro e a superfície.
A temperatura no centro ():
A temperatura na superfície ():
í
A diferença de temperatura í:
Passo 13
Vamos agora substituir pela expressão encontrada e os valores numéricos:
Primeiro, calculamos :
Mas temos que BTU/h·ft² e pés.
Então:
³
Passo 14
Agora, substituímos e na expressão para :
Calculando passo a passo:
ft².
Numerador: BTU/h·ft·°F.
Denominador: .
Então:
Resposta
A queda de temperatura do centro até a superfície da haste é aproximadamente .