Duas fitas condutoras, de comprimentos infinitos na direção
, estão situadas no plano
. Uma ocupa a região
e conduz uma densidade de corrente superficial
, enquanto a outra está situada em
e conduz uma densidade de corrente superficial igual a
. (b) Considere que
se aproxima de zero enquanto a corrente é mantida constante (
), e mostre que a força por unidade de comprimento tende a
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos duas fitas condutoras que se estendem infinitamente na direção $ z $ e estão posicionadas no plano $ xz $. Uma das fitas está na região $ \frac{d}{2} < x < b + \frac{d}{2} $ com uma densidade de corrente superficial $ \mathbf{K} = K_{0} \mathbf{a}{2} $, e a outra está na região
com densidade de corrente $ -K{0} \mathbf{a}_{2} $. A matéria envolvida é sobre força entre condutores com correntes elétricas e usaremos conceitos de campo magnético e força magnética. Precisaremos entender como calcular a força por unidade de comprimento entre duas correntes paralelas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força magnética entre duas correntes pode ser calculada usando a fórmula:
onde $ F $ é a força, $ I $ é a corrente, $ L $ é o comprimento, e $ B $ é o campo magnético gerado por uma das correntes na posição da outra.
Passo 3
Como estamos interessados na força por unidade de comprimento, podemos definir a força por unidade de comprimento como:
Então, precisamos encontrar o campo magnético $ B $ gerado por uma das fitas na posição da outra fita.
Passo 4
Sabemos que o campo magnético gerado por uma fita com densidade de corrente superficial $ K $ em uma posição a uma distância $ d $ é dado por:
onde $ \mu_{0} $ é a permeabilidade do vácuo.
Passo 5
No nosso caso, temos duas fitas com densidades de corrente $ K_{0} $ e $ -K_{0} $. A força entre elas será atraente porque as correntes são opostas. A distância entre as duas fitas é $ d $.
Passo 6
Substituindo na fórmula da força por unidade de comprimento:
Mas sabemos que a corrente $ I $ é mantida constante e está relacionada à densidade de corrente $ K_{0} $ pela relação $ I = K_{0} b $.
Passo 7
Substituindo $ K_{0} = \frac{I}{b} $ na expressão da força por unidade de comprimento:
Passo 8
Agora, considerando o limite em que $ b $ tende a zero, temos:
No entanto, devemos considerar que à medida que $ b $ se aproxima de zero, a distância efetiva entre as correntes permanece $ d $. Portanto, ajustamos a expressão para refletir a distância $ d $ e obtemos:
Resposta
A força por unidade de comprimento tende a $ \frac{\mu_{0} I^{2}}{2 \pi d} , \mathrm{N/m} $.