Duas forças agem sobre a caixa de 2 kg vista de cima, mas apenas uma é mostrada a que ela no eixo x. Para F1= 20 n, a=12m/s² e ângulo = 30º, determine a segunda força (a) em termos de vetores unitários e como um (b) módulo e © ângulo em relação ao semi-eixo x positivo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas forças que estão agindo numa caixa de 2 kg vista de cima. Só vemos uma força no eixo x, que é F₁ = 20 N. A caixa está acelerando a 12 m/s² num ângulo de 30º. Nossa missão é descobrir a segunda força F₂ de três maneiras diferentes: em vetores unitários, o módulo dela e o ângulo que ela forma com o eixo x positivo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores, leis de Newton e trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a soma das forças que atuam na caixa resulta na aceleração dela. Isso é a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante (F₁ + F₂) é igual à massa (m) vezes a aceleração (a):
F1 + F2 = m cdot a
Aqui, m = 2 kg e a = 12 m/s² com ângulo de 30º.

Passo 3

Vamos decompor a aceleração nas componentes x e y usando trigonometria. Sabemos que:
ax = a cdot cos(theta) = 12 cdot cos(30º) ay = a cdot sin(theta) = 12 cdot sin(30º) ºº
Calculando:
ax = 12 cdot raiz32 = 6raiz3 , m/s² ay = 12 cdot 12 = 6 , m/s² ²²

Passo 4

Agora, aplicamos a segunda lei de Newton para cada componente. Sabemos que F₁ está apenas na direção x:
F1x + F2x = m cdot ax 20 + F2x = 2 cdot 6raiz3 F2x = 12raiz3 - 20
E na direção y:
F1y + F2y = m cdot ay 0 + F2y = 2 cdot 6 F2y = 12

Passo 5

Agora que temos as componentes de F₂, podemos escrever o vetor em termos de vetores unitários. Os vetores unitários nos eixos x e y são i e j, respectivamente. Então:
F2 = F2x cdot i + F2y cdot j F2 = (12raiz3 - 20) cdot i + 12 cdot j

Passo 6

Para encontrar o módulo da força F₂, usamos o teorema de Pitágoras:
|F2| = raizF2x^2 + F2y^2 |F2| = raiz(12raiz3 - 20)^2 + 12^2
Calculando:
12raiz3 approx 20.78 F2x = 20.78 - 20 = 0.78 , N |F2| = raiz0.78^2 + 12^2 approx raiz0.6084 + 144 approx raiz144.6084 approx 12.02 , N

Passo 7

Para achar o ângulo que F₂ faz com o semi-eixo x positivo, usamos a tangente:
tan(alpha) = F2yF2x = 120.78 approx 15.38 alpha = tan^-1(15.38) approx 86.2º º

Resposta

(a) A segunda força em termos de vetores unitários é:
F2 = (12raiz3 - 20) cdot i + 12 cdot j
(b) O módulo de F₂ é aproximadamente 12,02 N.
© O ângulo de F₂ em relação ao semi-eixo x positivo é aproximadamente 86,2º.

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