Duas grandes placas de aço, a temperaturas de
e
, estão separadas por uma haste de aço com
de comprimento e
de diâmetro. A haste está soldada em cada placa. O espaço entre as placas é preenchido com isolamento, que também isola a circunferência da haste. Em decorrência de uma diferença de tensão elétrica aplicada entre duas placas, existe um fluxo de corrente através da haste, dissipando energia elétrica a uma taxa de 12 W . a) Determine a temperatura máxima na haste e a taxa do fluxo de calor em cada extremidade. Dados: a condutividade térmica do aço é
. b) Caso este isolante fosse substituído por um fluido a
e o coeficiente de transferência de calor igual a
. Determine a temperatura máxima na haste e a taxa do fluxo de calor em cada extremidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas placas de aço a temperaturas diferentes, conectadas por uma haste também de aço. Entre elas, tem isolamento (na parte a) ou um fluido (na parte b) que ajuda a controlar a troca de calor. Além disso, uma corrente elétrica passa pela haste, gerando calor. Precisamos descobrir qual é a temperatura máxima na haste e a taxa de fluxo de calor em cada extremidade. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e transferência de energia elétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a corrente elétrica que passa pela haste gera calor devido à resistência do material. Essa energia elétrica dissipada em calor precisa ser balanceada pela transferência de calor para as placas, para que o sistema esteja em equilíbrio térmico.
Passo 3
Vamos usar a fórmula da condução de calor, que é dada por:
Onde:
- $ Q $ é a taxa de fluxo de calor (em W),
- $ k $ é a condutividade térmica do material (em W/m·K),
- $ A $ é a área da seção transversal da haste (em m²),
- $ \Delta T $ é a diferença de temperatura,
- $ L $ é o comprimento da haste (em m).
Passo 4
Primeiro, vamos calcular a área da seção transversal da haste. A haste é circular, então usamos a fórmula da área do círculo:
Onde $ d = 2,5 $ cm = 0,025 m.
Passo 5
Sabemos que a energia elétrica dissipada é de 12 W. No equilíbrio térmico, essa energia deve ser igual ao fluxo de calor conduzido pela haste. Então, temos:
Substituindo na fórmula da condução de calor:
Passo 6
Vamos resolver para $ \Delta T $:
Passo 7
Agora, sabemos que a diferença de temperatura ao longo da haste é de aproximadamente 170,3°C. Considerando que uma extremidade está a 90°C e a outra a 70°C, isso não faz sentido, pois a diferença real é de 20°C. Isso indica que a temperatura máxima na haste ocorre em algum ponto entre as duas placas, e precisamos ajustar nosso cálculo.
Passo 8
Na verdade, o calor gerado na haste faz com que a temperatura nela aumente. A temperatura máxima será na área onde a dissipação de energia é maior, geralmente no centro da haste. Portanto, a temperatura máxima será a temperatura de uma placa mais a metade da diferença de temperatura calculada.
Resposta
A temperatura máxima na haste é aproximadamente 175°C. A taxa de fluxo de calor em cada extremidade é de 6 W, já que a dissipação total de 12 W é dividida igualmente entre as duas extremidades.