Duas hastes, uma de alumínio e outra de cobre, estão unidas pelas extremidades. A área da seção transversal de cada uma é de 4,0 times 10 m^2 e o comprimento de cada uma é de 0,040 m. A extremidade livre da haste de alumínio é mantida a 302 ^circ C, enquanto a extremidade livre da haste de cobre é mantida a 25^circ C. A perda de calor através da superfície lateral das hastes pode ser desprezada.
Qual a temperatura na interface alumínio-cobre?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre condução de calor envolvendo duas hastes, uma de alumínio e outra de cobre. O que precisamos entender aqui é como o calor flui de uma haste para a outra quando elas estão conectadas e têm temperaturas diferentes nas extremidades. Vamos usar a Lei de Fourier para condução de calor e algumas propriedades térmicas dos materiais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Área da seção transversal de cada haste,
  • Comprimento de cada haste,
  • Temperatura na extremidade de alumínio,
  • Temperatura na extremidade de cobre,

Passo 3

Sabemos que, no estado estacionário, a taxa de transferência de calor através de cada haste é a mesma. Vamos usar a fórmula da condução de calor:
Q = k cdot A cdot De
onde:
  • é a taxa de calor
  • é a condutividade térmica do material
  • é a área da seção transversal
  • é a diferença de temperatura
  • é o comprimento da haste

Passo 4

Vamos chamar a temperatura na interface entre as hastes de . Para a haste de alumínio, a diferença de temperatura será . Para a haste de cobre, será .

Passo 5

Como a taxa de calor é a mesma nas duas hastes, podemos igualar as expressões:
kAl cdot A cdot (TA - T)L = kCu cdot A cdot (T - TC)L

Passo 6

Podemos simplificar cancelando kAl cdot (TA - T) = kCu cdot (T - TC) e dos dois lados:

Passo 7

Agora isolamos kAl cdot TA - kAl cdot T = kCu cdot T - kCu cdot TC :
kAl cdot TA + kCu cdot TC = (kAl + kCu) cdot T
T = kAl cdot TA + kCu cdot TCkAl + kCu

Passo 8

Precisamos dos valores das condutividades térmicas:
  • Condutividade térmica do alumínio,
  • Condutividade térmica do cobre,

Passo 9

Substituindo os valores na fórmula:
T = 205 times 302 + 385 times 25205 + 385
T = 61810 + 9625590
T = 71435590 approx 121,^circC

Resposta

A temperatura na interface alumínio-cobre é aproximadamente .

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