Quantos dias levaria para que um cubo negro perfeito ( 0,0100 m de lado, 30,0^circ C ) irradiasse a mesma quantidade de energia que uma lâmpada de 100 W usa em uma hora?

Passo 1

Vamos resolver o problema de quantos dias um cubo negro perfeito irradiaria a mesma quantidade de energia que uma lâmpada de 100 W consome em uma hora. Aqui, vamos usar conceitos de radiação térmica, especificamente a Lei de Stefan-Boltzmann, que descreve a energia irradiada por um corpo negro em função da sua temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a quantidade de energia que a lâmpada de 100 W consome em uma hora. Sabemos que potência § é energia por unidade de tempo. Então, a energia (E) consumida é:
E = P times t
Onde:
  • E = 100 , W times 3600 , s = 360,000 , J

Passo 3

Agora, vamos calcular a potência irradiada pelo cubo negro. A Lei de Stefan-Boltzmann é dada por:
P = sigma times A times T^4
Onde:
  • A = 6 times (0,0100 , m)^2 = 6 times 0,000100 , m^2 = 0,000600 , m^2 (constante de Stefan-Boltzmann)
  • T = 30,0 + 273,15 = 303,15 , K é a área da superfície do cubo
  • P = 5,67 times 10^-8 , W/m^2K^4 times 0,000600 , m^2 times (303,15 , K)^4 é a temperatura absoluta em Kelvin
Primeiro, encontramos a área do cubo. Cada lado do cubo tem , então a área total é:
A temperatura dada é . Vamos converter para Kelvin:
Agora, substituindo na fórmula da potência:

Passo 4

Vamos calcular (303,15)^4 approx 8,464 times 10^9 , K^4 :
P = 5,67 times 10^-8 times 0,000600 times 8,464 times 10^9
Agora, multiplicando todos os valores:
P approx 5,67 times 10^-8 times 0,000600 times 8,464 times 10^9
P approx 5,67 times 10^-8 times 5,0784 times 10^6
P approx 288 , W

Passo 5

Agora que sabemos a potência irradiada pelo cubo ( t = EP = 360,000 , J288 , W approx 1250 , s ) e a energia que queremos igualar ( 1250 , s div 86400 , s/dia approx 0,0145 , dias ), podemos encontrar o tempo (t) necessário:
Agora, vamos converter segundos para dias:

Resposta

O cubo negro levaria aproximadamente 0,0145 dias, ou seja, cerca de 21 minutos e 30 segundos, para irradiar a mesma quantidade de energia que uma lâmpada de 100 W usa em uma hora.

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