Duas ondas senoidais de mesma frequência omega= 180 pi rad / s, comprimento de onda lambda=0,5 m e amplitudes 5,0 cm e 7,0 cm se propagam no mesmo sentido em uma corda esticada; Elas produzem uma onda resultante com uma amplitude de 9,0 cm. A constante de fase da primeira onda é nula. (a) Qual é a constante de fase da segunda onda?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas ondas senoidais que têm a mesma frequência ( omega = 180pi , rad/s) e o mesmo comprimento de onda ( lambda = 0,5 , m). As amplitudes dessas ondas são 5,0 cm e 7,0 cm, e elas estão se movendo na mesma direção numa corda esticada. Quando essas duas ondas se combinam, a amplitude resultante é de 9,0 cm. A primeira onda tem a constante de fase igual a zero, e queremos descobrir qual é a constante de fase da segunda onda. Para resolver isso, vamos usar o conceito de superposição de ondas e a fórmula para a amplitude resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como duas ondas se combinam. Quando duas ondas se movem na mesma direção, a amplitude resultante ( A) pode ser calculada usando a seguinte fórmula:
A = raizA1^2 + A2^2 + 2A1A2 cos(phi)
Aqui, A1 e A2 são as amplitudes das duas ondas, e phi é a diferença de fase entre elas.

Passo 3

Na nossa questão, sabemos que:
  • A1 = 5,0 , cm
  • A2 = 7,0 , cm
  • A = 9,0 , cm
  • A fase da primeira onda ( phi1) é 0, então a fase da segunda onda será apenas phi.
Vamos substituir esses valores na fórmula:
9 = raiz5^2 + 7^2 + 2 times 5 times 7 times cos(phi)

Passo 4

Vamos simplificar dentro da raiz:
9 = raiz25 + 49 + 70 cos(phi)
9 = raiz74 + 70 cos(phi)

Passo 5

Agora, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado para eliminar a raiz:
81 = 74 + 70 cos(phi)

Passo 6

Vamos isolar o termo com o cosseno:
81 - 74 = 70 cos(phi)
7 = 70 cos(phi)
cos(phi) = 770
cos(phi) = 0,1

Passo 7

Para encontrar phi, vamos usar a função arco cosseno (também conhecida como cos^-1):
phi = cos^-1(0,1)
Calculando isso, temos:
phi approx 1,4706 , rad

Resposta

A constante de fase da segunda onda é aproximadamente 1,47 , rad.

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