Duas ondas senoidais de mesma frequência omega= 180 pi rad / s, comprimento de onda lambda=0,5 m e amplitudes 5,0 cm e 7,0 cm se propagam no mesmo sentido em uma corda esticada; Elas produzem uma onda resultante com uma amplitude de 9,0 cm. A constante de fase da primeira onda é nula. (b) Qual é a constante de fase da onda resultante?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas ondas senoidais que estão se movendo na mesma direção em uma corda esticada. Ambas têm a mesma frequência omega = 180pi , rad/s e comprimento de onda lambda = 0,5 , m. As amplitudes das ondas são 5,0 , cm e 7,0 , cm. Quando essas ondas se combinam, formam uma onda resultante com amplitude 9,0 , cm. A constante de fase da primeira onda é nula. Nosso objetivo aqui é encontrar a constante de fase da onda resultante. Para isso, vamos precisar usar conceitos de superposição de ondas e a fórmula para a amplitude resultante quando duas ondas interferem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando duas ondas se propagam na mesma direção e se sobrepõem, a amplitude da onda resultante ( A) pode ser calculada usando a seguinte fórmula:
A = raizA1^2 + A2^2 + 2A1A2 cos phi
Aqui, A1 e A2 são as amplitudes das ondas individuais, e phi é a diferença de fase entre elas. Nosso objetivo é encontrar o valor de phi que resulta em uma amplitude resultante de 9,0 , cm.

Passo 3

Vamos substituir os valores conhecidos na fórmula. Temos:
9,0 = raiz5,0^2 + 7,0^2 + 2 times 5,0 times 7,0 times cos phi
Primeiro, calculamos os quadrados das amplitudes:
5,0^2 = 25, 7,0^2 = 49
Então, a equação fica:
9,0 = raiz25 + 49 + 70 cos phi

Passo 4

Agora, somamos os valores dentro da raiz:
25 + 49 = 74
Portanto:
9,0 = raiz74 + 70 cos phi
Para eliminar a raiz quadrada, elevamos ambos os lados da equação ao quadrado:
(9,0)^2 = 74 + 70 cos phi
81 = 74 + 70 cos phi

Passo 5

Isolamos o termo que contém cos phi:
81 - 74 = 70 cos phi
7 = 70 cos phi
Dividimos ambos os lados por 70 para encontrar cos phi:
cos phi = 770 = 0,1

Passo 6

Agora, para encontrar phi, precisamos calcular o arco cosseno de 0,1:
phi = arccos(0,1)
Usando uma calculadora ou tabela trigonométrica, encontramos:
phi approx 84,26^circ

Resposta

A constante de fase da onda resultante é aproximadamente 84,26^circ.

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