Duas ondas senoidais propagam-se ao longo de uma corda em sentidos opostos. Cada onda tem amplitude de e a distância entre duas cristas em ambas as ondas é de . A velocidade de propagação de onda na corda é de . Considere as fases iniciais das ondas como sendo nulas. Determine: a distância entre dois pontos da corda que possuem velocidade transversal nula.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas ondas senoidais que se propagam em sentidos opostos ao longo de uma corda. Cada onda tem uma amplitude de e um comprimento de onda de . A velocidade de propagação das ondas na corda é de . Queremos determinar a distância entre dois pontos na corda onde a velocidade transversal é nula.
Aqui, vamos usar conceitos de superposição de ondas e movimento harmônico para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as expressões das duas ondas. Como elas se propagam em sentidos opostos, podemos representá-las da seguinte forma:
Onde:
  • é a amplitude da onda ( ).
  • é o número de onda.
  • é a frequência angular.
  • é a posição na corda.
  • é o tempo.

Passo 3

Vamos calcular o deslocamento total na corda pela superposição das duas ondas:
Usando a identidade trigonométrica da soma de senos:
Aplicando isso:

Passo 4

Agora, queremos encontrar a velocidade transversal, que é a derivada do deslocamento em relação ao tempo:
Para que a velocidade transversal seja nula, precisamos que:
Isso acontece quando:

Passo 5

Como queremos pontos fixos na corda onde a velocidade é sempre nula (independente do tempo), focamos na condição . Isso ocorre quando:
é
Sabemos que:
Substituindo na equação:

Passo 6

O comprimento de onda é . Portanto:
Isso significa que os pontos com velocidade transversal nula estão separados por .

Resposta

A distância entre dois pontos da corda que possuem velocidade transversal nula é de 2 cm.

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