Duas ondas senoidais propagam-se ao longo de uma corda em sentidos opostos. Cada onda tem amplitude de 0,6 cm e a distância entre duas cristas em ambas as ondas é de 4,0 cm. A velocidade de propagação de onda na corda é de 200 cm / s. Considere as fases iniciais das ondas como sendo nulas. Determine: a distância entre dois pontos da corda que possuem velocidade transversal nula.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas ondas senoidais que se propagam em sentidos opostos ao longo de uma corda. Cada onda tem uma amplitude de e um comprimento de onda de . A velocidade de propagação das ondas na corda é de . Queremos determinar a distância entre dois pontos na corda onde a velocidade transversal é nula.
Aqui, vamos usar conceitos de superposição de ondas e movimento harmônico para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as expressões das duas ondas. Como elas se propagam em sentidos opostos, podemos representá-las da seguinte forma:
y1(x, t) = A sin(kx - omega t)
y2(x, t) = A sin(kx + omega t)
Onde:
  • é a amplitude da onda ( ).
  • é o número de onda.
  • é a frequência angular.
  • é a posição na corda.
  • é o tempo.

Passo 3

Vamos calcular o deslocamento total na corda pela superposição das duas ondas:
y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) = A sin(kx - omega t) + A sin(kx + omega t)
Usando a identidade trigonométrica da soma de senos:
sin alpha + sin beta = 2 sin(alpha + beta2) cos(alpha - beta2)
Aplicando isso:
y(x, t) = 2A sin(kx) cos(omega t)

Passo 4

Agora, queremos encontrar a velocidade transversal, que é a derivada do deslocamento em relação ao tempo:
vy(x, t) = partial ypartial t = -2A sin(kx) omega sin(omega t)
Para que a velocidade transversal seja nula, precisamos que:
vy(x, t) = 0
Isso acontece quando:
sin(kx) = 0 ou sin(omega t) = 0

Passo 5

Como queremos pontos fixos na corda onde a velocidade é sempre nula (independente do tempo), focamos na condição kx = npi onde n é um inteiro . Isso ocorre quando:
k = 2pilambda é
Sabemos que:
2pilambda x = npi implies x = nlambda2
Substituindo na equação:

Passo 6

O comprimento de onda x = n times 4,0 , cm2 = 2n , cm é . Portanto:
Isso significa que os pontos com velocidade transversal nula estão separados por .

Resposta

A distância entre dois pontos da corda que possuem velocidade transversal nula é de 2 cm.

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