Duas partículas, cada uma de massa m e com carga q, estão suspensas de um ponto comum, por cordas de comprimento l. Determine o ângulo theta que cada corda forma com a vertical.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde duas partículas, cada uma com massa m e carga q, estão penduradas de um ponto comum por cordas de comprimento l. Nosso objetivo aqui é encontrar o ângulo theta que cada corda faz com a vertical. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equilíbrio de forças e eletricidade estática.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam em cada partícula. Cada partícula está sujeita a duas forças principais:
  1. Força da gravidade ( Fg): Essa força puxa a partícula para baixo e é dada por Fg = m cdot g, onde g é a aceleração da gravidade.
  2. Força elétrica de repulsão ( Fe): Como as partículas têm a mesma carga, elas se repelem. Essa força pode ser calculada usando a Lei de Coulomb:
    Fe = ke cdot q^2r^2
    onde ke é a constante eletrostática e r é a distância entre as partículas.

Passo 3

No equilíbrio, a soma das forças deve ser zero. Vamos decompor as forças em componentes horizontais e verticais:
  • Componentes verticais: A única força vertical é a gravidade, que deve ser balanceada pela componente vertical da tensão na corda ( T cdot costheta).
    T cdot costheta = m cdot g
  • Componentes horizontais: A força elétrica de repulsão é equilibrada pela componente horizontal da tensão ( T cdot sintheta).
    T cdot sintheta = Fe

Passo 4

Dividindo a segunda equação pela primeira, podemos eliminar a tensão T:
T cdot sinthetaT cdot costheta = Fem cdot g
Simplificando:
tantheta = Fem cdot g

Passo 5

Agora, substituímos Fe pela expressão da Lei de Coulomb:
tantheta = ke cdot q^2r^2m cdot g
Nessa situação, a distância r entre as partículas pode ser relacionada ao comprimento da corda l e ao ângulo theta:
r = 2l cdot sintheta
Substituindo r na equação:
tantheta = ke cdot q^2(2l cdot sintheta)^2m cdot g

Passo 6

Simplificando a equação:
tantheta = ke cdot q^24l^2 cdot sin^2theta cdot m cdot g
Multiplicando ambos os lados por sin^2theta:
sin^2theta cdot tantheta = ke cdot q^24l^2 cdot m cdot g
Como tantheta = sinthetacostheta:
sin^3thetacostheta = ke cdot q^24l^2 cdot m cdot g
Isso resulta em uma equação que pode ser resolvida numericamente para encontrar theta.

Resposta

Após resolver as equações, o ângulo theta que cada corda forma com a vertical é dado por:
theta = arctan(raiz[3]ke cdot q^24l^2 cdot m cdot g)

Exercícios relacionados