Duas pessoas transportam um motor elétrico pesado, colocando-o sobre uma prancha leve com 2,00 m de comprimento. Uma das pessoas suspende uma das extremidades com uma força de 400 N e a outra suspende a outra extremidade com uma força de 600 N.
(a) Qual é o peso do motor e em que ponto ao longo da tábua seu centro de gravidade está localizado?
(b)Suponha que a prancha não seja leve, mas pese 200 N, com o centro de gravidade localizado em seu centro, e as duas pessoas exerçam as mesmas forças de antes. Qual é o peso do motor nesse caso, e onde seu centro de gravidade está localizado?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre duas pessoas que estão transportando um motor elétrico pesado usando uma prancha. A matéria envolvida aqui é estática, mais especificamente o equilíbrio de forças e torque. Vamos precisar entender como equilibrar as forças que atuam na prancha para descobrir o peso do motor e onde está o centro de gravidade dele.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte (a) do exercício, onde a prancha é considerada leve, ou seja, o peso dela é desprezável. Temos duas forças atuando nas extremidades da prancha: 400 N de um lado e 600 N do outro.

Passo 3

Para encontrar o peso do motor, vamos usar o princípio do equilíbrio de forças. Em equilíbrio, a soma das forças para cima (as forças que as pessoas estão aplicando) deve ser igual à soma das forças para baixo (o peso do motor).
Então:
Ftotal = F1 + F2 = 400, N + 600, N = 1000, N
Isso significa que o peso do motor é de 1000 N.

Passo 4

Agora, para descobrir onde está o centro de gravidade do motor ao longo da prancha, vamos usar o equilíbrio de torques (momentos). O torque é dado pela força multiplicada pela distância em relação ao ponto de rotação.
Vamos escolher um dos extremos da prancha como ponto de rotação. Vamos escolher o extremo onde a força é de 400 N.
O torque produzido pela força de 600 N:
tau600N = 600, N times 2,00, m = 1200, N·m , (sentido anti-horário) á
O torque produzido pelo peso do motor (1000 N) a uma distância $ x $ do ponto de rotação:
x á
Para que a prancha esteja em equilíbrio, os torques devem se igualar:
taumotor = 1000, N times x, m , (sentido horário)
1200, N·m = 1000, N times x, m
Então, o centro de gravidade do motor está a 1,2 metros de distância do ponto onde a força de 400 N está sendo aplicada.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b) do exercício, onde a prancha não é mais leve e pesa 200 N. O centro de gravidade da prancha está no seu centro, ou seja, a 1,00 metro de cada extremidade.
Teremos que considerar o peso da prancha junto com o peso do motor. As forças exercidas pelas pessoas continuam sendo 400 N e 600 N.

Passo 6

Primeiro, vamos calcular o peso total que está sendo sustentado pelas pessoas:
Ftotal = 400, N + 600, N = 1000, N
Esse total agora é a soma do peso da prancha e do peso do motor:
1000, N = 200, N + Wmotor
Wmotor = 1000, N - 200, N = 800, N
Então, o peso do motor agora é de 800 N.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a posição do centro de gravidade do motor considerando o peso da prancha. Vamos usar novamente o equilíbrio de torques. Escolhemos o ponto de rotação no extremo onde a força é de 400 N.
Temos dois torques para considerar: o torque da força de 600 N e o torque do peso da prancha.
Torque da força de 600 N:
tau600N = 600, N times 2,00, m = 1200, N·m , (sentido anti-horário) á
Torque do peso da prancha (200 N) localizado no centro (1,00 m do ponto de rotação):
tauprancha = 200, N times 1,00, m = 200, N·m , (sentido horário) á
Torque do peso do motor (800 N) a uma distância $ x $ do ponto de rotação:
x á
Para equilíbrio:
taumotor = 800, N times x, m , (sentido horário)
tau600N = tauprancha + taumotor
1200, N·m = 200, N·m + 800, N times x, m
1000, N·m = 800, N times x, m
Portanto, o centro de gravidade do motor está a 1,25 metros de distância do ponto onde a força de 400 N está sendo aplicada.

Resposta

(a) O peso do motor é de 1000 N e seu centro de gravidade está localizado a 1,2 metros de uma das extremidades da prancha.
(b) Com a prancha pesando 200 N, o peso do motor passa a ser 800 N e seu centro de gravidade está localizado a 1,25 metros de uma das extremidades da prancha.

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