Dê duas soluções para cada uma das equações com a condição inicial dada:
4a)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial:
com a condição inicial . O objetivo é encontrar duas soluções para essa equação que satisfaçam a condição inicial. Para resolver, vamos precisar usar o método de separação de variáveis e entender um pouco sobre equações diferenciais não lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis e na equação diferencial. Isso significa rearranjar a equação para que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com fiquem do outro. A equação dada é:
Lembrando que , podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis:
Simplificando o lado esquerdo:
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados:
Calculando as integrais:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 5:
Elevando ambos os lados à quinta potência para resolver para :
Podemos simplificar para outra constante, digamos :

Passo 5

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Isso implica que . Portanto, uma solução é:
No entanto, devido à natureza da equação diferencial (ela não é lipschitziana em ), também existe a solução trivial onde para todos os .

Resposta

As duas soluções que satisfazem a equação diferencial e a condição inicial são:
e

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Calcule:
Efetue as operações abaixo:
Calcule:
As equações diferenciais podem sugerir mudanças de coordenadas. Por exemplo, para resolver a equação

podemos fazer .
Neste caso, , ou seja, . Substituindo, obtemos a seguinte equação diferencial:
$$
çãúé
v-3 \ln |v+2|+y+C=0 .
x+3 y+C=3 \ln |x+2 y+2| .
$$
Resolver as equações abaixo, usando uma conveniente mudança de coordenadas:
7a) (sugestão sen