Dê duas soluções para cada uma das equações com a condição inicial dada:
4a)
4a)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial:
com a condição inicial
. O objetivo é encontrar duas soluções para essa equação que satisfaçam a condição inicial. Para resolver, vamos precisar usar o método de separação de variáveis e entender um pouco sobre equações diferenciais não lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
na equação diferencial. Isso significa rearranjar a equação para que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
fiquem do outro. A equação dada é:
Lembrando que
, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis:
Simplificando o lado esquerdo:
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados:
Calculando as integrais:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 5:
Elevando ambos os lados à quinta potência para resolver para
:
Podemos simplificar
para outra constante, digamos
:
Passo 5
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Isso implica que
. Portanto, uma solução é:
No entanto, devido à natureza da equação diferencial (ela não é lipschitziana em
), também existe a solução trivial onde
para todos os
.
Resposta
As duas soluções que satisfazem a equação diferencial e a condição inicial são:
e
Exercícios relacionados
Calcule:
Efetue as operações abaixo:
Calcule:
As equações diferenciais podem sugerir mudanças de coordenadas. Por exemplo, para resolver a equação
podemos fazer
Neste caso,
$$
v-3 \ln |v+2|+y+C=0 .
x+3 y+C=3 \ln |x+2 y+2| .
$$
Resolver as equações abaixo, usando uma conveniente mudança de coordenadas:
7a) (sugestão sen
Resolver as equações abaixo, usando uma conveniente mudança de coordenadas:
7a)