As equações diferenciais podem sugerir mudanças de coordenadas. Por exemplo, para resolver a equação
podemos fazer
.
Neste caso,
, ou seja,
. Substituindo, obtemos a seguinte equação diferencial:
$$
v-3 \ln |v+2|+y+C=0 .
x+3 y+C=3 \ln |x+2 y+2| .
$$
Resolver as equações abaixo, usando uma conveniente mudança de coordenadas:
7a)
(sugestão sen
podemos fazer
Neste caso,
$$
Resolver as equações abaixo, usando uma conveniente mudança de coordenadas:
7a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá a seguinte equação para resolver:
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais e vamos usar uma mudança de coordenadas para facilitar a resolução. A dica que o exercício nos dá é usar a substituição
. Vamos precisar lembrar como fazer uma substituição em equações diferenciais e como integrar depois disso.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida:
. Isso significa que vamos substituir
por
na equação.
Para isso, precisamos também expressar
em termos de
. Derivando ambos os lados de
em relação a
, temos:
Mas como
, podemos usar a identidade trigonométrica
se necessário, mas vamos manter
por enquanto.
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na equação diferencial original:
Simplificando, o termo
se cancela:
Agora, temos uma equação diferencial em termos de
e
:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para facilitar a integração. Vamos isolar os termos de
e
:
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando a fração:
Agora, vamos integrar ambos os lados.
Do lado esquerdo, temos:
Mas atenção! Aqui,
é tratado como uma constante em relação a
, pois estamos integrando em relação a
. Então, a integral fica:
Do lado direito, a integral de
é simplesmente:
Igualando as duas integrais:
Passo 5
Agora, vamos substituir
de volta na equação para retornar às vari��veis originais:
Podemos reorganizar essa expressão para deixar a solução mais organizada:
Ou, se preferir, podemos isolar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.