As equações diferenciais podem sugerir mudanças de coordenadas. Por exemplo, para resolver a equação
(x + 2y - 1) dx + 3(x + 2y) dy = 0
podemos fazer x + 2y = v.
Neste caso, dx + 2 dy = dv, ou seja, dx = dv - 2dy. Substituindo, obtemos a seguinte equação diferencial:
$$
(v-1)(dv-2dy)+3vd y=0 (v-1)dv+(v+2)dy=0 (v-1)/(v+2)dv+dy=0
v - 3 ln |v + 2| + y + C = 0çãúé
v-3 \ln |v+2|+y+C=0 .
v = x + 2y
x+3 y+C=3 \ln |x+2 y+2| .
$$
Resolver as equações abaixo, usando uma conveniente mudança de coordenadas:
7a) x + 3y + C = 3 ln |x + 2y + 2| (sugestão sen (1 + 3 x sen(y)) dx - x^2 cos(y) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá a seguinte equação para resolver:
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais e vamos usar uma mudança de coordenadas para facilitar a resolução. A dica que o exercício nos dá é usar a substituição . Vamos precisar lembrar como fazer uma substituição em equações diferenciais e como integrar depois disso.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida: . Isso significa que vamos substituir por na equação.
Para isso, precisamos também expressar em termos de . Derivando ambos os lados de em relação a , temos:
Mas como , podemos usar a identidade trigonométrica se necessário, mas vamos manter por enquanto.

Passo 3

Agora, vamos substituir e na equação diferencial original:
Simplificando, o termo se cancela:
Agora, temos uma equação diferencial em termos de e :

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para facilitar a integração. Vamos isolar os termos de e :
Dividindo ambos os lados por :
Simplificando a fração:
Agora, vamos integrar ambos os lados.
Do lado esquerdo, temos:
Mas atenção! Aqui, é tratado como uma constante em relação a , pois estamos integrando em relação a . Então, a integral fica:
Do lado direito, a integral de é simplesmente:
Igualando as duas integrais:

Passo 5

Agora, vamos substituir de volta na equação para retornar às vari��veis originais:
Podemos reorganizar essa expressão para deixar a solução mais organizada:
Ou, se preferir, podemos isolar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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