A duração de um tonner de uma máquina de fotocópias pode ser modelado como normal com média 15 e desvio padrão 2 (em milhres de cópias). Para uma amostra de 12 máquinas a duração do tonner é observada. Qual é a probabilidade de em média, durar:
  • c) Entre 13 e 14 mil cópias?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a duração de um toner de uma máquina de fotocópias, que segue uma distribuição normal com média 15 mil cópias e desvio padrão de 2 mil cópias. Temos uma amostra de 12 máquinas e queremos saber a probabilidade de a média dessa amostra durar entre 13 e 14 mil cópias. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e a distribuição da média amostral.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a média de uma amostra se comporta. Quando temos uma amostra de tamanho n de uma população normalmente distribuída com média mu e desvio padrão sigma, a média amostral ( barX) também segue uma distribuição normal com média mu e desvio padrão sigma/raizn.
No nosso caso:
  • mu = 15
  • sigma = 2
  • n = 12
Então, o desvio padrão da média amostral é:
sigmabarX = sigmaraizn = 2raiz12 approx 0,577

Passo 3

Agora, queremos encontrar a probabilidade de barX estar entre 13 e 14. Para isso, vamos padronizar esses valores usando a fórmula do z-score:
z = X - musigmabarX
Calculando para 13:
z1 = 13 - 150,577 approx -3,464
E para 14:
z2 = 14 - 150,577 approx -1,732

Passo 4

Com os valores de z-calculados, precisamos encontrar a área sob a curva normal entre z1 e z2. Isso representa a probabilidade que estamos procurando. Utilizamos tabelas da distribuição normal ou uma calculadora para encontrar essas áreas.
Consultando uma tabela ou usando uma calculadora:
P(z < -1,732) approx 0,0418
P(z < -3,464) approx 0,0003

Passo 5

A probabilidade de barX estar entre 13 e 14 é a diferença entre essas duas áreas:
P(13 <= barX <= 14) = P(z < -1,732) - P(z < -3,464) approx 0,0418 - 0,0003 = 0,0415

Resposta

A probabilidade de, em média, a duração do toner durar entre 13 e 14 mil cópias é aproximadamente 4,15 %.

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