A duração de um tonner de uma máquina de fotocópias pode ser modelado como normal com média 15 e desvio padrão 2 (em milhres de cópias). Para uma amostra de 12 máquinas a duração do tonner é observada. Qual é a probabilidade de em média, durar:
- c) Entre 13 e 14 mil cópias?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a duração de um toner de uma máquina de fotocópias, que segue uma distribuição normal com média 15 mil cópias e desvio padrão de 2 mil cópias. Temos uma amostra de 12 máquinas e queremos saber a probabilidade de a média dessa amostra durar entre 13 e 14 mil cópias. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e a distribuição da média amostral.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a média de uma amostra se comporta. Quando temos uma amostra de tamanho n de uma população normalmente distribuída com média
e desvio padrão
, a média amostral (
) também segue uma distribuição normal com média
e desvio padrão
.
No nosso caso:
Então, o desvio padrão da média amostral é:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a probabilidade de
estar entre 13 e 14. Para isso, vamos padronizar esses valores usando a fórmula do z-score:
Calculando para 13:
E para 14:
Passo 4
Com os valores de z-calculados, precisamos encontrar a área sob a curva normal entre
e
. Isso representa a probabilidade que estamos procurando. Utilizamos tabelas da distribuição normal ou uma calculadora para encontrar essas áreas.
Consultando uma tabela ou usando uma calculadora:
Passo 5
A probabilidade de
estar entre 13 e 14 é a diferença entre essas duas áreas:
Resposta
A probabilidade de, em média, a duração do toner durar entre 13 e 14 mil cópias é aproximadamente 4,15 %.