Considere um experimento químico cujo rendimento pode ser modelado por uma normal com desvio padrão
. Esse experimento foi repetido 5 vezes e os rendimentos foram anotados:
Para o nível de significancia
, queremos testar se o rendimento da reação é de
. Qual conclusão chegamos com a amostra acima?
Para o nível de significancia
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um experimento químico onde o rendimento segue uma distribuição normal com desvio padrão
. Esse experimento foi repetido 5 vezes, e os rendimentos obtidos foram: 91.6, 88.75, 90.8, 89.95 e 91.3. A gente quer testar, com nível de significância
, se o rendimento médio da reação é de 90%.
Para resolver isso, vamos precisar usar teste de hipóteses para a média de uma distribuição normal quando o desvio padrão é conhecido. Vamos seguir passo a passo para entender como chegar na conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média dos rendimentos observados. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
Então, a média amostral
é 90.28.
Passo 3
Agora, vamos montar as hipóteses para o teste:
- Hipótese nula (
): A média do rendimento é 90%, ou seja, . - Hipótese alternativa (
): A média do rendimento é diferente de 90%, ou seja, .
Estamos fazendo um teste bilateral porque queremos verificar se a média é diferente, seja para mais ou para menos.
Passo 4
Como sabemos o desvio padrão da população (
) e temos uma amostra pequena (n = 5), vamos usar o teste Z para a média. A fórmula do teste Z é:
Onde:
-
é a média amostral. -
é a média hipotética (90%). -
é o desvio padrão. -
é o tamanho da amostra.
Passo 5
Vamos substituir os valores na fórmula:
Primeiro, calculamos o denominador:
Agora, calculamos o Z:
Então, o valor do teste Z é aproximadamente 0.2085.
Passo 6
Agora, precisamos comparar o valor de Z com os valores críticos para o nível de significância
em um teste bilateral. Os valores críticos para
são
e
.
Nosso Z calculado é aproximadamente 0.2085, que está dentro desse intervalo.
Passo 7
Como o valor de Z está entre -1.96 e 1.96, não rejeitamos a hipótese nula. Isso significa que não há evidências suficientes para afirmar que a média do rendimento é diferente de 90%.
Resposta
Com o nível de significância de 5%, não rejeitamos a hipótese de que o rendimento médio da reação é de 90%.