Considere um experimento químico cujo rendimento pode ser modelado por uma normal com desvio padrão sigma=3. Esse experimento foi repetido 5 vezes e os rendimentos foram anotados:
91.6,88.75,90.8,89.95,91.3
Para o nível de significancia alpha=0.05, queremos testar se o rendimento da reação é de 90 %. Qual conclusão chegamos com a amostra acima?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um experimento químico onde o rendimento segue uma distribuição normal com desvio padrão sigma = 3. Esse experimento foi repetido 5 vezes, e os rendimentos obtidos foram: 91.6, 88.75, 90.8, 89.95 e 91.3. A gente quer testar, com nível de significância alpha = 0.05, se o rendimento médio da reação é de 90%.
Para resolver isso, vamos precisar usar teste de hipóteses para a média de uma distribuição normal quando o desvio padrão é conhecido. Vamos seguir passo a passo para entender como chegar na conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média dos rendimentos observados. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
barX = 91.6 + 88.75 + 90.8 + 89.95 + 91.35
barX = 451.45 = 90.28
Então, a média amostral barX é 90.28.

Passo 3

Agora, vamos montar as hipóteses para o teste:
  • Hipótese nula ( H0): A média do rendimento é 90%, ou seja, mu = 90.
  • Hipótese alternativa ( H1): A média do rendimento é diferente de 90%, ou seja, mu neq 90.
Estamos fazendo um teste bilateral porque queremos verificar se a média é diferente, seja para mais ou para menos.

Passo 4

Como sabemos o desvio padrão da população ( sigma = 3) e temos uma amostra pequena (n = 5), vamos usar o teste Z para a média. A fórmula do teste Z é:
Z = barX - mu0sigmaraizn
Onde:
  • barX é a média amostral.
  • mu0 é a média hipotética (90%).
  • sigma é o desvio padrão.
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula:
Z = 90.28 - 903raiz5
Primeiro, calculamos o denominador:
3raiz5 approx 32.236 approx 1.3416
Agora, calculamos o Z:
Z = 0.281.3416 approx 0.2085
Então, o valor do teste Z é aproximadamente 0.2085.

Passo 6

Agora, precisamos comparar o valor de Z com os valores críticos para o nível de significância alpha = 0.05 em um teste bilateral. Os valores críticos para alpha = 0.05 são -1.96 e 1.96.
-1.96 < Z < 1.96
Nosso Z calculado é aproximadamente 0.2085, que está dentro desse intervalo.

Passo 7

Como o valor de Z está entre -1.96 e 1.96, não rejeitamos a hipótese nula. Isso significa que não há evidências suficientes para afirmar que a média do rendimento é diferente de 90%.

Resposta

Com o nível de significância de 5%, não rejeitamos a hipótese de que o rendimento médio da reação é de 90%.

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