Um agrônomo está interessado em estimar o nível de cálcio em uma plantação. Para isso, coletou uma amostra com 49 unidades e encontrou a média de cálcio em mg igual a
e o desvio padrão amostral foi de
. Construa IC
e
para a média de cálcio da plantação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa aqui é estimar o nível de cálcio na plantação usando uma amostra. A gente já tem alguns dados: a média da amostra (
) é 68,3 mg, o desvio padrão da amostra (
) é 5,87 mg, e o tamanho da amostra (
) é 49. Nosso objetivo é construir intervalos de confiança de 92% e 99% para a média de cálcio da plantação. Para isso, vamos usar conceitos de estatística inferencial, especificamente intervalos de confiança para a média.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, é uma faixa de valores que acreditamos que contenha a verdadeira média da população com um certo nível de confiança. No nosso caso, queremos ter 92% e 99% de certeza de que a média real está dentro desses intervalos.
Passo 3
A fórmula para calcular o intervalo de confiança da média é:
Aqui:
-
é a média da amostra. -
é o valor crítico da distribuição t de Student para o nível de confiança desejado. -
é o desvio padrão da amostra. -
é o tamanho da amostra.
Como a nossa amostra tem 49 unidades, o grau de liberdade (
) é
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os valores críticos de t para 92% e 99% de confiança com 48 graus de liberdade. Esses valores indicam quantos desvios padrão a média da amostra pode estar da média verdadeira para manter o nível de confiança desejado.
Usando uma tabela de distribuição t ou uma calculadora estatística, encontramos:
- Para 92% de confiança:
- Para 99% de confiança:
Passo 5
Vamos calcular agora a margem de erro para cada nível de confiança usando a fórmula:
Primeiro, calculamos
:
Agora, para cada nível de confiança:
-
92% de confiança:
-
99% de confiança:
Passo 6
Com a margem de erro calculada, podemos construir os intervalos de confiança:
-
92% de confiança:
-
99% de confiança:
Resposta
O intervalo de confiança para a média de cálcio da plantação é:
- 92% de confiança: entre 66,83 mg e 69,77 mg.
- 99% de confiança: entre 66,05 mg e 70,55 mg.