Um agrônomo está interessado em estimar o nível de cálcio em uma plantação. Para isso, coletou uma amostra com 49 unidades e encontrou a média de cálcio em mg igual a barX=68,3 e o desvio padrão amostral foi de S=5,87. Construa IC 92 % e 99 % para a média de cálcio da plantação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa aqui é estimar o nível de cálcio na plantação usando uma amostra. A gente já tem alguns dados: a média da amostra ( barX) é 68,3 mg, o desvio padrão da amostra ( S) é 5,87 mg, e o tamanho da amostra ( n) é 49. Nosso objetivo é construir intervalos de confiança de 92% e 99% para a média de cálcio da plantação. Para isso, vamos usar conceitos de estatística inferencial, especificamente intervalos de confiança para a média.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, é uma faixa de valores que acreditamos que contenha a verdadeira média da população com um certo nível de confiança. No nosso caso, queremos ter 92% e 99% de certeza de que a média real está dentro desses intervalos.

Passo 3

A fórmula para calcular o intervalo de confiança da média é:
barX pm talpha2 cdot Sraizn
Aqui:
  • barX é a média da amostra.
  • talpha2 é o valor crítico da distribuição t de Student para o nível de confiança desejado.
  • S é o desvio padrão da amostra.
  • n é o tamanho da amostra.
Como a nossa amostra tem 49 unidades, o grau de liberdade ( df) é n - 1 = 48.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os valores críticos de t para 92% e 99% de confiança com 48 graus de liberdade. Esses valores indicam quantos desvios padrão a média da amostra pode estar da média verdadeira para manter o nível de confiança desejado.
Usando uma tabela de distribuição t ou uma calculadora estatística, encontramos:
  • Para 92% de confiança: t0,04 approx 1,75
  • Para 99% de confiança: t0,005 approx 2,68

Passo 5

Vamos calcular agora a margem de erro para cada nível de confiança usando a fórmula:
Mar>=m de Erro = talpha2 cdot Sraizn
Primeiro, calculamos Sraizn:
5,87raiz49 = 5,877 approx 0,839
Agora, para cada nível de confiança:
  • 92% de confiança:
    1,75 times 0,839 approx 1,468
  • 99% de confiança:
    2,68 times 0,839 approx 2,249

Passo 6

Com a margem de erro calculada, podemos construir os intervalos de confiança:
  • 92% de confiança:
    68,3 pm 1,468 Rightarrow [68,3 - 1,468, 68,3 + 1,468] Rightarrow [66,832, 69,768]
  • 99% de confiança:
    68,3 pm 2,249 Rightarrow [68,3 - 2,249, 68,3 + 2,249] Rightarrow [66,051, 70,549]

Resposta

O intervalo de confiança para a média de cálcio da plantação é:
  • 92% de confiança: entre 66,83 mg e 69,77 mg.
  • 99% de confiança: entre 66,05 mg e 70,55 mg.

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