Durante suas férias, oito amigos, dos quais dois são canhotos, decidem realizar um torneio de vôlei de praia. Eles precisam formar quatro duplas para a realização do torneio. Nenhuma dupla pode ser formada por dois jogadores canhotos. De quantas maneiras diferentes podem ser formadas essas quatro duplas?
(A) 69.
(B) 70.
© 90.
(D) 104.
(E) 105.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos oito amigos, sendo que dois são canhotos, e precisamos formar quatro duplas para um torneio de vôlei de praia. A regra é que nenhuma dupla pode ter os dois jogadores canhotos juntos. Para resolver isso, vamos usar um pouco de combinatória, que é a parte da matemática que lida com contagens de maneiras diferentes de agrupar elementos.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir quantas maneiras existem de formar quatro duplas com os oito amigos, sem considerar nenhuma restrição. Quando queremos formar pares sem se importar com a ordem, usamos a fórmula dos arranjos. Mas uma forma mais simples é saber que o número de maneiras de emparelhar 2n pessoas é dado por (2n - 1)!!, que é o produto de todos os números ímpares até 2n - 1.
No nosso caso, n = 4 (já que são quatro duplas), então:
(2 times 4 - 1)!! = 7!! = 7 times 5 times 3 times 1 = 105
Então, sem restrições, existem 105 maneiras de formar as duplas.

Passo 3

Agora, precisamos considerar a restrição de que os dois canhotos não podem formar uma dupla. Para isso, vamos calcular quantas dessas 105 maneiras não são válidas, ou seja, quantas têm os dois canhotos juntos.
Se os dois canhotos estão em uma dupla, restam seis pessoas para formar as outras três duplas. Usando a mesma fórmula:
(6 - 1)!! = 5!! = 5 times 3 times 1 = 15
Portanto, há 15 maneiras em que os dois canhotos formam uma dupla.

Passo 4

Para encontrar o número de maneiras válidas de formar as duplas (sem os dois canhotos juntos), basta subtrair as maneiras inválidas das totais:
105 - 15 = 90
Então, existem 90 maneiras diferentes de formar as quatro duplas respeitando a regra dos canhotos.

Resposta

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