Numa ilha existem três modelos de automóveis disponíveis para a compra, um de cada um das seguintes marcas; A,B e C. Segundo os fabricantes, e tendo em conta as características da rede de estradas local, o consumo dos referidos automóveis (em litros aos cem Km ) é caracterizado pelas seguintes distribuições: Um determinado Senhor, residente da ilha, possui um automóvel da marca C, dois da marca A e três da marca B. O referido Senhor tem por costume escolher na segunda-feira de manhã o automóvel que vai utilizar ao longo da semana.
a. Sabendo que na última semana que na última semana o automóvel utilizado gastou em média mais de 10 litros (aos cem Km ), calcule a probabilidade de ter sido um automóvel da marca A o escolhido.
b. Qual a probabilidade de o consumo de um automóvel da marca C ser pelo menos 1 litro inferior ao consumo de um automóvel da marca A?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos três modelos de carros (A, B e C) com consumos de combustível que seguem distribuições normais diferentes. O senhor da ilha tem 1 carro C, 2 carros A e 3 carros B, totalizando 6 carros. Ele escolhe aleatoriamente um carro na segunda-feira. Vamos precisar usar conceitos de probabilidade condicional e distribuições normais para resolver as questões.

Passo 2

Parte a: Queremos saber a probabilidade de o carro escolhido ser da marca A, dado que o consumo médio na última semana foi maior que 10 litros aos 100 Km.
Primeiro, vamos identificar as probabilidades de cada carro ter sido escolhido:
  • Total de carros: 1 © + 2 (A) + 3 (B) = 6
  • Probabilidade de escolher A: 2/6 = 1/3
  • Probabilidade de escolher B: 3/6 = 1/2
  • Probabilidade de escolher C: 1/6
Agora, vamos considerar que o consumo de cada carro segue uma distribuição normal:
Queremos a probabilidade condicional , onde é o consumo.
Usaremos a fórmula da probabilidade condicional:
Primeiro, calculamos , , e usando a distribuição normal.
Para uma variável normal , a probabilidade é:
onde é a função distribuição acumulada da normal padrão.
Vamos calcular cada um:
  • Para A:
  • Para B:
  • Para C:
Agora, calculamos :
Finalmente, aplicamos na fórmula da probabilidade condicional:

Passo 3

Parte b: Queremos a probabilidade de que o consumo do carro C seja pelo menos 1 litro inferior ao consumo do carro A, ou seja, .
Primeiro, vamos definir uma nova variável . Queremos .
Como e são normais, também será normal, com média e variância dadas por:
Então, .
Queremos :

Resposta

a. A probabilidade de o carro escolhido ser da marca A, dado que o consumo foi maior que 10 litros, é aproximadamente 30,33%.
b. A probabilidade de que o consumo de um carro da marca C seja pelo menos 1 litro inferior ao de um carro da marca A é aproximadamente 73,40%.

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