Numa ilha existem três modelos de automóveis disponíveis para a compra, um de cada um das seguintes marcas; A,B e C. Segundo os fabricantes, e tendo em conta as características da rede de estradas local, o consumo dos referidos automóveis (em litros aos cem Km ) é caracterizado pelas seguintes distribuições: A sim N(10,1^2), B sim N(11,1.5^2), C sim N(8,1.25^2) Um determinado Senhor, residente da ilha, possui um automóvel da marca C, dois da marca A e três da marca B. O referido Senhor tem por costume escolher na segunda-feira de manhã o automóvel que vai utilizar ao longo da semana.
a. Sabendo que na última semana que na última semana o automóvel utilizado gastou em média mais de 10 litros (aos cem Km ), calcule a probabilidade de ter sido um automóvel da marca A o escolhido.
b. Qual a probabilidade de o consumo de um automóvel da marca C ser pelo menos 1 litro inferior ao consumo de um automóvel da marca A?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos três modelos de carros (A, B e C) com consumos de combustível que seguem distribuições normais diferentes. O senhor da ilha tem 1 carro C, 2 carros A e 3 carros B, totalizando 6 carros. Ele escolhe aleatoriamente um carro na segunda-feira. Vamos precisar usar conceitos de probabilidade condicional e distribuições normais para resolver as questões.

Passo 2

Parte a: Queremos saber a probabilidade de o carro escolhido ser da marca A, dado que o consumo médio na última semana foi maior que 10 litros aos 100 Km.
Primeiro, vamos identificar as probabilidades de cada carro ter sido escolhido:
  • Total de carros: 1 © + 2 (A) + 3 (B) = 6
  • Probabilidade de escolher A: 2/6 = 1/3
  • Probabilidade de escolher B: 3/6 = 1/2
  • Probabilidade de escolher C: 1/6
Agora, vamos considerar que o consumo de cada carro segue uma distribuição normal:
  • P(A | X > 10) = P(X > 10 | A) cdot P(A)P(X > 10)
  • P(Y > a) = 1 - Phi(a - musigma)
  • zA = 10 - 101 = 0
Queremos a probabilidade condicional P(X > 10 | A) = 1 - Phi(0) = 0.5 , onde zB = 10 - 111.5 = -11.5 approx -0.6667 é o consumo.
Usaremos a fórmula da probabilidade condicional:
P(X > 10 | B) = 1 - Phi(-0.6667) = Phi(0.6667) approx 0.7475
Primeiro, calculamos zC = 10 - 81.25 = 21.25 = 1.6 , P(X > 10 | C) = 1 - Phi(1.6) approx 1 - 0.9452 = 0.0548 , e P(X > 10) = P(X > 10 | A) cdot P(A) + P(X > 10 | B) cdot P(B) + P(X > 10 | C) cdot P(C) usando a distribuição normal.
Para uma variável normal P(X > 10) = 0.5 cdot 13 + 0.7475 cdot 12 + 0.0548 cdot 16 , a probabilidade P(X > 10) approx 0.1667 + 0.3738 + 0.0091 = 0.5496 é:
P(A | X > 10) = 0.5 cdot 130.5496 approx 0.16670.5496 approx 0.3033 ou 30.33%
onde é a função distribuição acumulada da normal padrão.
Vamos calcular cada um:
  • Para A:
  • Para B:
  • Para C:
Agora, calculamos :
Finalmente, aplicamos na fórmula da probabilidade condicional:

Passo 3

Parte b: Queremos a probabilidade de que o consumo do carro C seja pelo menos 1 litro inferior ao consumo do carro A, ou seja, muD = muA - muC = 10 - 8 = 2 .
Primeiro, vamos definir uma nova variável sigmaD^2 = sigmaA^2 + sigmaC^2 = 1^2 + 1.25^2 = 1 + 1.5625 = 2.5625 . Queremos sigmaD = raiz2.5625 = 1.6 .
Como z = 1 - 21.6 = -11.6 = -0.625 e P(D >= 1) = 1 - Phi(-0.625) = Phi(0.625) approx 0.7340 ou 73.40% são normais, também será normal, com média e variância dadas por:
Então, .
Queremos :

Resposta

a. A probabilidade de o carro escolhido ser da marca A, dado que o consumo foi maior que 10 litros, é aproximadamente 30,33%.
b. A probabilidade de que o consumo de um carro da marca C seja pelo menos 1 litro inferior ao de um carro da marca A é aproximadamente 73,40%.

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