Durante quanto tempo um capital deve ser mantido em investimento a juros simples com taxa de 2% a.m. para que ele gere um montante que seja o dobro do capital investido?
A) 3 anos e 4 meses.
B) 3 anos e 6 meses.
C) 3 anos e 9 meses.
D) 4 anos.
E) 4 anos e 2 meses.

Passo 1

Então, a gente tem uma questão sobre juros simples. A pergunta é: por quanto tempo precisamos investir um capital a uma taxa de 2% ao mês para que o montante (o dinheiro total após os juros) seja o dobro do capital inicial? Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de juros simples e entender como calcular o tempo necessário para dobrar o investimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula dos juros simples:
M = C times (1 + i times t)
Onde:
  • $ M $ é o montante final
  • $ C $ é o capital inicial
  • $ i $ é a taxa de juros por período
  • $ t $ é o tempo

Passo 3

No nosso caso, queremos que o montante seja o dobro do capital inicial. Então, podemos escrever:
2C = C times (1 + i times t)

Passo 4

Agora, vamos simplificar a equação. Primeiro, dividimos ambos os lados por $ C $:
C

Passo 5

Subtraindo 1 de ambos os lados para isolar o termo que contém o tempo:
2 - 1 = i times t 1 = i times t

Passo 6

Sabemos que a taxa de juros $ i $ é de 2% ao mês, ou seja, $ i = 0{,}02 $ (em forma decimal). Vamos substituir esse valor na equação para encontrar $ t $:
i

Passo 7

Agora, isolamos $ t $ dividindo ambos os lados por $ 0{,}02 $:
t

Passo 8

Convertendo 50 meses para anos e meses:
  • 1 ano tem 12 meses.
  • 50 meses divididos por 12 dá 4 anos, com resto 2 meses.
Então, o tempo necessário é de 4 anos e 2 meses.

Resposta

E) 4 anos e 2 meses.

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