Durante uma transferência de calor unidimensional e em regime permanente, a distribuição da temperatura em uma parede de condutividade térmica k e espessura L é T=12 x^3+5 x +50. A partir da Equação do Calor, obtenha uma expressão para a taxa de geração de calor na parede.

Passo 1

Beleza, temos um exercício de transferência de calor em regime permanente unidimensional. O objetivo aqui é usar a Equação do Calor para descobrir qual é a taxa de geração de calor na parede. Vamos precisar da distribuição de temperatura que foi dada e da condutividade térmica da parede.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a Equação do Calor para transferência de calor em regime permanente e com geração interna de calor. A equação é:
d^2 Tdx^2 + q'''k = 0
Onde:
  • é a temperatura,
  • é a posição ao longo da parede,
  • é a taxa de geração de calor por unidade de volume,
  • é a condutividade térmica da parede.

Passo 3

Agora, vamos usar a distribuição de temperatura fornecida: dTdx = 36x^2 + 5 .
Primeiro, calculamos a primeira derivada de d^2 Tdx^2 = 72x em relação a :
Depois, calculamos a segunda derivada:

Passo 4

Substituímos a segunda derivada que encontramos na Equação do Calor:
72x + q'''k = 0
Agora, isolamos q'''k = -72x :
q''' = -72k cdot x
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A taxa de geração de calor na parede é .

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