Um eixo circular vazado de aço cilíndrico tem comprimento L = 2 m e diâmetros interno e externo iguais a 30 e 50 mm, respectivamente. Qual é o maior torque que pode ser aplicado ao eixo circular, sabendo que a tensão de cisalhamento não deve exceder 110 MPa?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um eixo circular vazado de aço e quer saber qual é o maior torque que podemos aplicar sem que a tensão de cisalhamento ultrapasse 110 MPa. Vamos usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente o estudo da torção em eixos cilíndricos. Para isso, precisamos entender como calcular o torque máximo em um eixo vazado usando as medidas dos diâmetros interno e externo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Comprimento do eixo, $ L = 2 $ metros (mas, nesse caso, o comprimento não será necessário para calcular o torque máximo).
- Diâmetro interno, $ d_i = 30 $ mm.
- Diâmetro externo, $ d_o = 50 $ mm.
- Tensão de cisalhamento máxima permitida, $ \tau_{max} = 110 $ MPa.
Passo 3
Vamos converter os diâmetros em raios, pois nas fórmulas de torque usamos os raios:
- Raio interno, $ r_i = \frac{d_i}{2} = \frac{30}{2} = 15 $ mm.
- Raio externo, $ r_o = \frac{d_o}{2} = \frac{50}{2} = 25 $ mm.
Passo 4
A tensão de cisalhamento máxima em um eixo submetido a torque é dada pela fórmula:
Onde:
- $ T $ é o torque.
- $ r_o $ é o raio externo.
- $ J $ é o momento polar de inércia da seção transversal.
Passo 5
Para um eixo circular vazado, o momento polar de inércia $ J $ é calculado por:
Vamos calcular $ J $ usando os raios que encontramos:
Calculando cada termo:
Então:
Passo 6
Agora, vamos rearranjar a fórmula da tensão de cisalhamento para encontrar o torque $ T $:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 7
Para deixar mais prático, vamos converter o torque de $ N\cdotmm $ para $ N\cdotm $:
Então:
Calculando o valor numérico:
Resposta
O maior torque que pode ser aplicado ao eixo circular sem exceder a tensão de cisalhamento de 110 MPa é aproximadamente 2350 N·m.