Um eixo circular vazado de aço cilíndrico tem comprimento L = 2 m e diâmetros interno e externo iguais a 30 e 50 mm, respectivamente. Qual é o maior torque que pode ser aplicado ao eixo circular, sabendo que a tensão de cisalhamento não deve exceder 110 MPa?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um eixo circular vazado de aço e quer saber qual é o maior torque que podemos aplicar sem que a tensão de cisalhamento ultrapasse 110 MPa. Vamos usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente o estudo da torção em eixos cilíndricos. Para isso, precisamos entender como calcular o torque máximo em um eixo vazado usando as medidas dos diâmetros interno e externo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Comprimento do eixo, $ L = 2 $ metros (mas, nesse caso, o comprimento não será necessário para calcular o torque máximo).
  • Diâmetro interno, $ d_i = 30 $ mm.
  • Diâmetro externo, $ d_o = 50 $ mm.
  • Tensão de cisalhamento máxima permitida, $ \tau_{max} = 110 $ MPa.

Passo 3

Vamos converter os diâmetros em raios, pois nas fórmulas de torque usamos os raios:
  • Raio interno, $ r_i = \frac{d_i}{2} = \frac{30}{2} = 15 $ mm.
  • Raio externo, $ r_o = \frac{d_o}{2} = \frac{50}{2} = 25 $ mm.

Passo 4

A tensão de cisalhamento máxima em um eixo submetido a torque é dada pela fórmula:
taumax = T cdot roJ
Onde:
  • $ T $ é o torque.
  • $ r_o $ é o raio externo.
  • $ J $ é o momento polar de inércia da seção transversal.

Passo 5

Para um eixo circular vazado, o momento polar de inércia $ J $ é calculado por:
J
Vamos calcular $ J $ usando os raios que encontramos:
J = pi2 ( ro^4 - ri^4 )
Calculando cada termo:
J
Então:
J = pi2 ( 25^4 - 15^4 ) , mm^4

Passo 6

Agora, vamos rearranjar a fórmula da tensão de cisalhamento para encontrar o torque $ T $:
T
Substituindo os valores:
T = taumax cdot Jro
Simplificando:
T = 110 times 170000pi25 , MPa cdot mm^3/mm

Passo 7

Para deixar mais prático, vamos converter o torque de $ N\cdotmm $ para $ N\cdotm $:
Ncdotmm
Então:
Ncdotm
Calculando o valor numérico:
1 , Ncdotm = 1000 , Ncdotmm

Resposta

O maior torque que pode ser aplicado ao eixo circular sem exceder a tensão de cisalhamento de 110 MPa é aproximadamente 2350 N·m.

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