Em um experimento de óptica, em sala de aula, uma régua de 30,0 cm de comprimento, quando colocada perpendicular ao eixo principal e a 24,0 cm do vértice de um espelho esférico côncavo, produz uma imagem invertida de 10,0 cm de altura. Nessas circunstâncias, a distância focal do espelho, em cm, é?

Passo 1

Então, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar a distância focal de um espelho côncavo. A gente tem uma régua de 30,0 cm que está a 24,0 cm do espelho e forma uma imagem invertida de 10,0 cm. Para resolver isso, vamos usar conceitos de óptica geométrica, especificamente as fórmulas do espelho esférico e de magnificação. Precisamos entender as relações entre a distância do objeto, a distância da imagem e a distância focal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das duas principais fórmulas que vamos usar:
  1. Equação do Espelho:
    1f = 1u + 1v
    Onde:
    • $ f $ é a distância focal do espelho.
    • $ u $ é a distância do objeto ao espelho.
    • $ v $ é a distância da imagem ao espelho.
  2. Fórmula da Magnificação:
    f
    Onde:
    • $ m $ é a magnificação.
    • $ h_i $ é a altura da imagem.
    • $ h_o $ é a altura do objeto.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • Altura do objeto ($ h_o $) = 30,0 cm
  • Altura da imagem ($ h_i $) = -10,0 cm (o sinal negativo indica que a imagem é invertida)
  • Distância do objeto ($ u $) = -24,0 cm (usamos o sinal negativo porque, na convenção, o objeto fica na frente do espelho)

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a magnificação usando a fórmula da magnificação:
m = hiho = -10,030,0 = -13
Então, $ m = -\frac{1}{3} $

Passo 5

Agora, usamos a relação da magnificação para encontrar a distância da imagem ($ v $):
v
Resolvendo para $ v $:
m = -vu implies -13 = -v-24,0
Então, $ v = -8,0 $ cm

Passo 6

Agora que temos $ u $ e $ v $, podemos usar a equação do espelho para encontrar $ f $:
u
Vamos calcular os valores:
v
Então,
f

Resposta

A distância focal do espelho é de -6,0 cm.

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