O elemento combustível proposto para um reator nuclear consiste de um núcleo cilíndrico de 5 cm de diâmetro, envolto por uma camada de
de alumínio. A face externa do alumínio estará em contato com o fluido transportador de calor, que manterá esta superfície a
. O núcleo fornece uma taxa de calor por unidade de volume de
. Devido ao efeito adverso da temperatura sobre o alumínio, a temperatura do revestimento não poderá exceder
em qualquer ponto. Este projeto é satisfatório? Para o alumínio use
, em que
kcal
a
, na faixa de 90 a
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um núcleo cilíndrico de combustível com diâmetro de 5 cm, envolto por uma camada de alumínio de 0,6 cm. A parte externa do alumínio está em contato com um fluido que mantém essa superfície a 95°C. O núcleo gera calor a uma taxa de
kcal/h·m³. Queremos saber se a temperatura do revestimento de alumínio vai ficar abaixo de 430°C, já que temperaturas mais altas são ruins para o alumínio. Para resolver isso, vamos usar a condutividade térmica do alumínio que varia com a temperatura:
, onde
kcal/h·m·°C e
°C⁻¹, válida para temperaturas entre 90°C e 450°C.
Passo 2
Primeiro, vamos converter o diâmetro do núcleo para raio, porque em problemas de condução radial em cilindros, usamos o raio. O diâmetro é 5 cm, então o raio
é metade disso:
Passo 3
Agora, a espessura do alumínio é de 0,6 cm. Portanto, o raio externo do alumínio
será:
Passo 4
O próximo passo é calcular a taxa de geração de calor no núcleo. Sabemos que a taxa de geração de calor por unidade de volume é
kcal/h·m³. Precisamos calcular a taxa total de geração de calor
no núcleo. Para isso, precisamos da área transversal do núcleo. Porém, como estamos lidando com um fluxos radial, usaremos diretamente a expressão de condução de calor para cilindros.
Passo 5
A equação de condução de calor radial para um cilindro com geração interna é dada por:
Onde
é a condutividade térmica, que neste caso depende da temperatura. Como
varia com
, a solução exata é complexa. Para simplificar, vamos assumir que a variação de
com
é pequena e podemos considerar uma média de
entre a temperatura do núcleo e a temperatura na superfície.
Passo 6
Vamos calcular a média de
usando a temperatura máxima permitida no alumínio, que é 430°C. Primeiro, calculamos
para 430°C:
Passo 7
Agora, usamos a fórmula simplificada para conduç��o de calor com geração interna em cilindros:
Aqui,
é o comprimento do cilindro, que não foi fornecido. Vamos supor um comprimento unitário (
m) para simplificar os cálculos.
Passo 8
Substituindo os valores na equação:
Calculando:
Passo 9
Agora, rearranjamos a equação para encontrar a temperatura máxima no núcleo
:
Substituindo os valores:
Calculando o logaritmo:
Então:
Resposta
A temperatura máxima no revestimento de alumínio seria aproximadamente 416,4°C, que está abaixo do limite de 430°C. Portanto, o projeto é satisfatório.