O elemento combustível proposto para um reator nuclear consiste de um núcleo cilíndrico de 5 cm de diâmetro, envolto por uma camada de 0,6 cm de alumínio. A face externa do alumínio estará em contato com o fluido transportador de calor, que manterá esta superfície a 95^circ C. O núcleo fornece uma taxa de calor por unidade de volume de 5,2 times 10^8 kcal / h m^3. Devido ao efeito adverso da temperatura sobre o alumínio, a temperatura do revestimento não poderá exceder 430^circ C em qualquer ponto. Este projeto é satisfatório? Para o alumínio use k=k0(1+a T), em que k0=176 kcal / h m ^circ Ce a =-8,91 times 10^-4 ^circ C^-1, na faixa de 90 a 450^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um núcleo cilíndrico de combustível com diâmetro de 5 cm, envolto por uma camada de alumínio de 0,6 cm. A parte externa do alumínio está em contato com um fluido que mantém essa superfície a 95°C. O núcleo gera calor a uma taxa de kcal/h·m³. Queremos saber se a temperatura do revestimento de alumínio vai ficar abaixo de 430°C, já que temperaturas mais altas são ruins para o alumínio. Para resolver isso, vamos usar a condutividade térmica do alumínio que varia com a temperatura: , onde kcal/h·m·°C e °C⁻¹, válida para temperaturas entre 90°C e 450°C.

Passo 2

Primeiro, vamos converter o diâmetro do núcleo para raio, porque em problemas de condução radial em cilindros, usamos o raio. O diâmetro é 5 cm, então o raio rnúc<=o = 5 cm2 = 2,5 cm ú é metade disso:
ú

Passo 3

Agora, a espessura do alumínio é de 0,6 cm. Portanto, o raio externo do alumínio ralumínio = rnúc<=o + 0,6 cm = 2,5 cm + 0,6 cm = 3,1 cm í será:
íú

Passo 4

O próximo passo é calcular a taxa de geração de calor no núcleo. Sabemos que a taxa de geração de calor por unidade de volume é kcal/h·m³. Precisamos calcular a taxa total de geração de calor no núcleo. Para isso, precisamos da área transversal do núcleo. Porém, como estamos lidando com um fluxos radial, usaremos diretamente a expressão de condução de calor para cilindros.

Passo 5

A equação de condução de calor radial para um cilindro com geração interna é dada por:
ddr( r dTdr ) = -q''' rk
Onde é a condutividade térmica, que neste caso depende da temperatura. Como varia com , a solução exata é complexa. Para simplificar, vamos assumir que a variação de com é pequena e podemos considerar uma média de entre a temperatura do núcleo e a temperatura na superfície.

Passo 6

Vamos calcular a média de k = 176 (1 + (-8,91 times 10^-4) times 430) = 176 (1 - 0,383) = 176 times 0,617 = 108,3 kcal/h·m·°C usando a temperatura máxima permitida no alumínio, que é 430°C. Primeiro, calculamos para 430°C:

Passo 7

Agora, usamos a fórmula simplificada para conduç��o de calor com geração interna em cilindros:
Q = 2 pi k L (Tsuperfície - Tnúc<=o)ln(ralumínio / rnúc<=o) íúíú
Aqui, é o comprimento do cilindro, que não foi fornecido. Vamos supor um comprimento unitário ( m) para simplificar os cálculos.

Passo 8

Substituindo os valores na equação:
5,2 times 10^8 kcal/h·m³ times pi (2,5 times 10^-2 m)^2 times 1 m = Q ³
Calculando:
Q = 5,2 times 10^8 times pi times 6,25 times 10^-4 times 1 = 5,2 times 10^8 times 1,9635 times 10^-3 approx 1,02 times 10^6 kcal/h

Passo 9

Agora, rearranjamos a equação para encontrar a temperatura máxima no núcleo Tnúc<=o = Tsuperfície + Q ln(ralumínio / rnúc<=o)2 pi k L ú:
Tnúc<=o = 95 + 1,02 times 10^6 times ln(3,1 / 2,5)2 pi times 108,3 times 1 úííú
Substituindo os valores:
ln(3,1 / 2,5) = ln(1,24) approx 0,215 ú
Calculando o logaritmo:
Tnúc<=o = 95 + 1,02 times 10^6 times 0,215680,7 approx 95 + 2,193 times 10^5680,7 approx 95 + 321,4 approx 416,4°C
Então:
ú

Resposta

A temperatura máxima no revestimento de alumínio seria aproximadamente 416,4°C, que está abaixo do limite de 430°C. Portanto, o projeto é satisfatório.

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