Uma placa de 50 cm de espessura tem um dos seus lados mantidos a 100^circ C e o outro, a 200^circ C. A temperatura no plano central do material é de 140^circ C, e o fluxo de calor através da placa é de 10.000 kcal /(h m^2 ). Obtenha uma expressão para a condutividade térmica do material em função da temperatura na forma k=(a+b T), em que T é a temperatura em ^circ C. Se a temperatura no plano central fosse 150^circ C, a condutividade térmica poderia ser escrita na forma (a+b T) ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma placa de 50 cm de espessura com um lado a 100°C e o outro a 200°C. No meio da placa, a temperatura é de 140°C, e o fluxo de calor passando pela placa é de 10.000 kcal/(h·m²). Precisamos encontrar uma expressão para a condutividade térmica (k) do material em função da temperatura, na forma:
k = a + bT
onde T é a temperatura em °C. Além disso, se a temperatura no centro fosse 150°C, será que a condutividade térmica ainda poderia ser escrita dessa forma?
Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a condução de calor e como a condutividade térmica varia com a temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Fourier para condução de calor, que relaciona o fluxo de calor (q) com a condutividade térmica (k), a variação de temperatura (ΔT) e a espessura do material (L):
q = -k cdot De
No nosso caso, o fluxo de calor é dado e queremos expressar k em termos de T.

Passo 3

Vamos considerar que a condutividade térmica depende da temperatura, então podemos escrever:
k(T) = a + bT
Nosso objetivo é encontrar os valores de a e b.

Passo 4

Sabemos que a temperatura no plano central da placa é 140°C, o que significa que a diferença de temperatura de cada lado até o centro é de 100°C até 140°C (diferença de 40°C) e de 200°C até 140°C (diferença de 60°C).
Como a espessura total é de 50 cm, cada metade até o centro tem 25 cm.

Passo 5

Vamos aplicar a Lei de Fourier para cada metade da placa. O fluxo de calor deve ser o mesmo em ambas as direções, então podemos escrever:
Para a primeira metade (100°C a 140°C):
q = -k1 cdot 140 - 1000,25
Para a segunda metade (140°C a 200°C):
q = -k2 cdot 200 - 1400,25
Como k depende de T, temos:
k1 = a + b cdot 140
k2 = a + b cdot 140
Na verdade, como estamos na condição de estado estacionário e a temperatura varia linearmente, podemos assumir que k é constante no intervalo, mas como queremos que dependa de T, precisaremos ajustar isso.

Passo 6

Para simplificar, vamos assumir que a média das condutividades térmicas nas duas metades é igual à condutividade no centro, então:
kmédia = a + b cdot 140 é
Sabemos que o fluxo de calor é 10.000 kcal/(h·m²), então podemos escrever:
10.000 = - (a + b cdot 140) cdot 600,25
Resolvendo para a + b \cdot 140:
a + b cdot 140 = -10.000 cdot 0,2560
a + b cdot 140 = -2.50060
a + b cdot 140 = -41,6667

Passo 7

Agora, precisamos de outra equação para resolver a e b. Porém, com as informações dadas, temos apenas uma equação. Isso sugere que, com os dados fornecidos, não é possível determinar valores únicos para a e b; apenas a relação entre eles.
Portanto, a expressão para a condutividade térmica em função da temperatura é:
k = a + b cdot T
Onde a e b satisfazem a equação:
a + 140b = -41,6667
Isso significa que a condutividade térmica pode ser expressa na forma k = a + bT, mas sem informações adicionais, não podemos determinar valores específicos para a e b.

Resposta

A condutividade térmica do material pode ser expressa na forma , onde . Portanto, sim, a condutividade térmica pode ser escrita na forma quando a temperatura no plano central é 150°C, desde que os coeficientes e satisfaçam a relação estabelecida.

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