Uma placa de 50 cm de espessura tem um dos seus lados mantidos a
e o outro, a
. A temperatura no plano central do material é de
, e o fluxo de calor através da placa é de 10.000
). Obtenha uma expressão para a condutividade térmica do material em função da temperatura na forma
, em que T é a temperatura em
. Se a temperatura no plano central fosse
, a condutividade térmica poderia ser escrita na forma
?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma placa de 50 cm de espessura com um lado a 100°C e o outro a 200°C. No meio da placa, a temperatura é de 140°C, e o fluxo de calor passando pela placa é de 10.000 kcal/(h·m²). Precisamos encontrar uma expressão para a condutividade térmica (k) do material em função da temperatura, na forma:
onde T é a temperatura em °C. Além disso, se a temperatura no centro fosse 150°C, será que a condutividade térmica ainda poderia ser escrita dessa forma?
Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a condução de calor e como a condutividade térmica varia com a temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Fourier para condução de calor, que relaciona o fluxo de calor (q) com a condutividade térmica (k), a variação de temperatura (ΔT) e a espessura do material (L):
No nosso caso, o fluxo de calor é dado e queremos expressar k em termos de T.
Passo 3
Vamos considerar que a condutividade térmica depende da temperatura, então podemos escrever:
Nosso objetivo é encontrar os valores de a e b.
Passo 4
Sabemos que a temperatura no plano central da placa é 140°C, o que significa que a diferença de temperatura de cada lado até o centro é de 100°C até 140°C (diferença de 40°C) e de 200°C até 140°C (diferença de 60°C).
Como a espessura total é de 50 cm, cada metade até o centro tem 25 cm.
Passo 5
Vamos aplicar a Lei de Fourier para cada metade da placa. O fluxo de calor deve ser o mesmo em ambas as direções, então podemos escrever:
Para a primeira metade (100°C a 140°C):
Para a segunda metade (140°C a 200°C):
Como k depende de T, temos:
Na verdade, como estamos na condição de estado estacionário e a temperatura varia linearmente, podemos assumir que k é constante no intervalo, mas como queremos que dependa de T, precisaremos ajustar isso.
Passo 6
Para simplificar, vamos assumir que a média das condutividades térmicas nas duas metades é igual à condutividade no centro, então:
Sabemos que o fluxo de calor é 10.000 kcal/(h·m²), então podemos escrever:
Resolvendo para a + b \cdot 140:
Passo 7
Agora, precisamos de outra equação para resolver a e b. Porém, com as informações dadas, temos apenas uma equação. Isso sugere que, com os dados fornecidos, não é possível determinar valores únicos para a e b; apenas a relação entre eles.
Portanto, a expressão para a condutividade térmica em função da temperatura é:
Onde a e b satisfazem a equação:
Isso significa que a condutividade térmica pode ser expressa na forma k = a + bT, mas sem informações adicionais, não podemos determinar valores específicos para a e b.
Resposta
A condutividade térmica do material pode ser expressa na forma
, onde
. Portanto, sim, a condutividade térmica pode ser escrita na forma
quando a temperatura no plano central é 150°C, desde que os coeficientes
e
satisfaçam a relação estabelecida.